В окружности радиус 10 см проведён диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра . Найдите радиус второй окружности , которая касается диаметра в точки А и изнутри…
В окружности радиус 10 см проведён диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра . Найдите радиус второй окружности , которая касается диаметра в точки А и изнутри касается данной окружности
Давайте подробно решим задачу. Представим всё наглядно и поэтапно объясним.
Дано:
- Радиус исходной окружности \( R_1 = 10 \text{ см} \).
- В окружности проведён диаметр \( BD \).
- Точка \( A \) лежит на диаметре \( BD \) и находится на расстоянии 5 см от центра \( O \).
- Требуется найти радиус второй окружности \( R_2 \), которая:
- касается диаметра \( BD \) в точке \( A \),
- изнутри касается исходной окружности.
Шаг 1. Построение и фиксация условий
Обозначим:
- центр первой окружности \( O \),
- \( R_1 = 10 \text{ см} \),
- диаметр \( BD \), тогда \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от \( O \) на одной линии, которую возьмём за ось \( Ox \).
Пусть:
- \( O \) — центр первой окружности в начале координат: \( O(0,0) \),
- \( B \) и \( D \) — на оси абсцисс,
- \( B \) — слева, \( D \) — справа, то есть \( B(-10, 0) \), \( D(10, 0) \).
Точка \( A \) лежит на \( BD \) и находится на расстоянии 5 см от центра \( O \). Так как \( A \) лежит на диаметре, то её координаты: \( A(x_A, 0) \). По условию:
\[ |AO| = 5\, \text{см} \Rightarrow |x_A| = 5 \]
Поскольку \( A \) находится на диаметре \( BD \), то
\[ A(5, 0) \quad \text{или} \quad A(-5, 0) \]
Выберем \( A(5, 0) \) для дальнейших вычислений, так как в условии подчеркнуто "на расстоянии 5 см от центра" — без уточнения знака, возьмём положительный.
Шаг 2. Определение условий для второй окружности
Обозначим:
- центр второй окружности — \( C(x_C, y_C) \),
- радиус — \( R_2 \).
Когда говорят, что окружность касается диаметра в точке \( A \):
- \( A \) — точка касания,
- Центр второй окружности \( C \) лежит на перпендикуляре к касательной в точке \( A \).
Но в данном случае касание происходит в точке \( A \), которая находится на прямой \( BD \), то есть на оси \( Ox \), и диаметр — это ось \( Ox \).
Значит, радиус второй окружности направлен вдоль перпендикуляра к диаметру в точке касания, то есть по вертикали, поскольку касательство в точке \( A \), лежащей на оси \( Ox \).
Касаясь в точке \( A(5,0) \), радиус окружности \( R_2 \) — это перпендикуляр к касательной (прямой \( Ox \)) и соединяет \( C \) с \( A \):
- \( C \) находится по вертикали (по оси \( y \)), относительно \( A \).
Поскольку окружность касается в точке \( A \), то: \[ |A C| = R_2 \]
И центр второй окружности \( C \) лежит на перпендикуляре к касательной в \( A \), то есть:
- Центр \( C \) находится на вертикальной линии через \( A \), следовательно, \( x_C = 5 \).
Шаг 3. Условие внутреннего касания к первой окружности
Обозначим:
\[ |O C| = R_1 - R_2 \]
Поскольку в условии говорится, что вторая окружность изнутри касается первой, то радиус второй окружности соединяет \( C \) и \( A \), при этом центр \( C \) лежит по вертикали выше или ниже \( A \), а радиус \( R_2 \) равен расстоянию \( A C \).
Из ранее сделанных выводов: \[ x_C = 5 \]
Обозначим \( y_C \) — вертикальная координата центра второй окружности.
Шаг 4: Запишем расстояния и уравнения
Расстояние между \( O(0,0) \) и \( C(5, y_C) \): \[ |O C| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (y_C - 0)^2} = \sqrt{25 + y_C^2} \]
Расстояние между \( A(5,0) \) и \( C(5, y_C) \): \[ |A C| = | y_C - 0 | = | y_C | \]
Радиус второй окружности: \[ R_2 = | y_C | \]
Внутреннее точка касания означает:
\[ |O C| = R_1 - R_2 \] \[ \sqrt{25 + y_C^2} = 10 - | y_C | \]
Шаг 5: Решить уравнение относительно \( y_C \)
Обозначим \( R_2 = | y_C | \). Поскольку радиус всегда положительный, возьмём \( R_2 = y_C \) при \( y_C > 0 \), и \( R_2 = - y_C \) при \( y_C < 0 \).
Однако, для симметрии достаточно рассматривать \( y_C > 0 \).
Запишем:
\[ \sqrt{25 + y_C^2} = 10 - y_C \]
Возводим обе части в квадрат:
\[ 25 + y_C^2 = (10 - y_C)^2 = 100 - 20 y_C + y_C^2 \]
Вычитаем \( y_C^2 \) с обеих сторон:
\[ 25 = 100 - 20 y_C \]
Теперь решим относительно \( y_C \):
\[ 25 - 100 = -20 y_C \] \[ -75 = -20 y_C \] \[ y_C = \frac{75}{20} = 3.75 \]
Так как \( y_C > 0 \), этот вариант подходит.
Шаг 6: Находим радиус второй окружности
\[ R_2 = y_C = 3.75\, \text{см} \]
Ответ:
Радиус второй окружности равен \(\boxed{3.75\, \text{см}}\).
