В окружности радиус 10 см проведён диаметр и на нем взята точка А на расстоянии 5 см от центра . Найдите радиус второй окружности , которая касается диаметра в точки А и изнутри касается данной окружности

Давайте подробно решим задачу. Представим всё наглядно и поэтапно объясним. **Дано:** - Радиус исходной окружности \( R_1 = 10 \text{ см} \). - В окружности проведён диаметр \( BD \). - Точка \( A \) лежит на диаметре \( BD \) и находится на расстоянии 5 см от центра \( O \). - Требуется найти радиус второй окружности \( R_2 \), которая: - касается диаметра \( BD \) в точке \( A \), - изнутри касается исходной окружности. --- ### Шаг 1. Построение и фиксация условий Обозначим: - центр первой окружности \( O \), - \( R_1 = 10 \text{ см} \), - диаметр \( BD \), тогда \( B \) и \( D \) лежат по разные стороны от \( O \) на одной линии, которую возьмём за ось \( Ox \). Пусть: - \( O \) — центр первой окружности в начале координат: \( O(0,0) \), - \( B \) и \( D \) — на оси абсцисс, - \( B \) — слева, \( D \) — справа, то есть \( B(-10, 0) \), \( D(10, 0) \). Точка \( A \) лежит на \( BD \) и находится на расстоянии 5 см от центра \( O \). Так как \( A \) лежит на диаметре, то её координаты: \( A(x_A, 0) \). По условию: \[ |AO| = 5\, \text{см} \Rightarrow |x_A| = 5 \] Поскольку \( A \) находится на диаметре \( BD \), то \[ A(5, 0) \quad \text{или} \quad A(-5, 0) \] Выберем \( A(5, 0) \) для дальнейших вычислений, так как в условии подчеркнуто "на расстоянии 5 см от центра" — без уточнения знака, возьмём положительный. --- ### Шаг 2. Определение условий для второй окружности Обозначим: - центр второй окружности — \( C(x_C, y_C) \), - радиус — \( R_2 \). Когда говорят, что окружность касается диаметра в точке \( A \): - \( A \) — точка касания, - Центр второй окружности \( C \) лежит на перпендикуляре к касательной в точке \( A \). Но в данном случае касание происходит **в точке \( A \)**, которая находится на прямой \( BD \), то есть на оси \( Ox \), и диаметр — это ось \( Ox \). Значит, радиус второй окружности направлен вдоль перпендикуляра к диаметру в точке касания, то есть по вертикали, поскольку касательство в точке \( A \), лежащей на оси \( Ox \). Касаясь в точке \( A(5,0) \), радиус окружности \( R_2 \) — это перпендикуляр к касательной (прямой \( Ox \)) и соединяет \( C \) с \( A \): - \( C \) находится по вертикали (по оси \( y \)), относительно \( A \). Поскольку окружность касается в точке \( A \), то: \[ |A C| = R_2 \] И центр второй окружности \( C \) лежит **на перпендикуляре к касательной в \( A \)**, то есть: - Центр \( C \) находится на вертикальной линии через \( A \), следовательно, \( x_C = 5 \). --- ### Шаг 3. Условие внутреннего касания к первой окружности Обозначим: \[ |O C| = R_1 - R_2 \] Поскольку в условии говорится, что вторая окружность **изнутри касается** первой, то радиус второй окружности соединяет \( C \) и \( A \), при этом центр \( C \) лежит по вертикали выше или ниже \( A \), а радиус \( R_2 \) равен расстоянию \( A C \). Из ранее сделанных выводов: \[ x_C = 5 \] Обозначим \( y_C \) — вертикальная координата центра второй окружности. --- ### Шаг 4: Запишем расстояния и уравнения 1. Расстояние между \( O(0,0) \) и \( C(5, y_C) \): \[ |O C| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (y_C - 0)^2} = \sqrt{25 + y_C^2} \] 2. Расстояние между \( A(5,0) \) и \( C(5, y_C) \): \[ |A C| = | y_C - 0 | = | y_C | \] 3. Радиус второй окружности: \[ R_2 = | y_C | \] 4. Внутреннее точка касания означает: \[ |O C| = R_1 - R_2 \] \[ \sqrt{25 + y_C^2} = 10 - | y_C | \] --- ### Шаг 5: Решить уравнение относительно \( y_C \) Обозначим \( R_2 = | y_C | \). Поскольку радиус всегда положительный, возьмём \( R_2 = y_C \) при \( y_C > 0 \), и \( R_2 = - y_C \) при \( y_C < 0 \). Однако, для симметрии достаточно рассматривать \( y_C > 0 \). Запишем: \[ \sqrt{25 + y_C^2} = 10 - y_C \] Возводим обе части в квадрат: \[ 25 + y_C^2 = (10 - y_C)^2 = 100 - 20 y_C + y_C^2 \] Вычитаем \( y_C^2 \) с обеих сторон: \[ 25 = 100 - 20 y_C \] Теперь решим относительно \( y_C \): \[ 25 - 100 = -20 y_C \] \[ -75 = -20 y_C \] \[ y_C = \frac{75}{20} = 3.75 \] Так как \( y_C > 0 \), этот вариант подходит. --- ### Шаг 6: Находим радиус второй окружности \[ R_2 = y_C = 3.75\, \text{см} \] --- ### **Ответ:** **Радиус второй окружности равен \(\boxed{3.75\, \text{см}}\).**