Давайте разберём задачу пошагово.
Задача:
Определить отношение числа распавшихся ядер (N₀ - N) за время, равное 0,43 периода полураспада.
Обозначения:
- ( N_0 ) — исходное число ядер в начальный момент времени (t=0).
- ( N ) — число оставшихся ядер через время t.
- ( T_{1/2} ) — период полураспада.
- ( t = 0,43 T_{1/2} ).
Шаг 1. Формула распада радиоактивных ядер
Количество оставшихся ядер после времени ( t ):
[
N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}
]
Или в виде натуральных логарифмов:
[
N = N_0 e^{-\lambda t}
]
где ( \lambda ) — постоянная распада, связанная с периодом полураспада:
[
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
]
Шаг 2. Выражение для количества распавшихся ядер
Количество распавшихся ядер за время ( t ):
[
N_0 - N = N_0 - N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = N_0 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\right]
]
Отношение распавшихся ядер к исходному числу:
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}
]
Шаг 3. Подставляем время ( t = 0,43 T_{1/2} )
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{0,43}
]
Шаг 4. Вычисляем ( \left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} )
Используем свойство степеней:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} = e^{0,43 \ln \frac{1}{2}} = e^{0,43 \times (-\ln 2)}
]
Значение ( \ln 2 \approx 0,6931 ), значит:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} = e^{-0,43 \times 0,6931} = e^{-0,2977}
]
Вычислим ( e^{-0,2977} ):
[
e^{-0,2977} \approx 0,742
]
(можно использовать калькулятор или таблицу)
Шаг 5. Итоговое значение
Подставляем обратно:
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - 0,742 = 0,258
]
Ответ:
Распавшихся ядер за время, равное 0,43 периода полураспада, составляет примерно 0,26 (округлённо до сотых).
Ответ: 0,26
