Определи относительное число распавшихся No -N ядер радиоактивного элемента за No время, равное 0,43 периода полураспада. (Ответ округли до сотых.)
Давайте разберём задачу пошагово.
Задача:
Определить отношение числа распавшихся ядер (N₀ - N) за время, равное 0,43 периода полураспада.
Обозначения:
- \( N_0 \) — исходное число ядер в начальный момент времени (t=0).
- \( N \) — число оставшихся ядер через время t.
- \( T_{1/2} \) — период полураспада.
- \( t = 0,43 T_{1/2} \).
Шаг 1. Формула распада радиоактивных ядер
Количество оставшихся ядер после времени \( t \):
\[
N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}
\]
Или в виде натуральных логарифмов:
\[
N = N_0 e^{-\lambda t}
\]
где \( \lambda \) — постоянная распада, связанная с периодом полураспада:
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
\]
Шаг 2. Выражение для количества распавшихся ядер
Количество распавшихся ядер за время \( t \):
\[
N_0 - N = N_0 - N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = N_0 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\right]
\]
Отношение распавшихся ядер к исходному числу:
\[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}
\]
Шаг 3. Подставляем время \( t = 0,43 T_{1/2} \)
\[ \frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} \]
Шаг 4. Вычисляем \( \left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} \)
Используем свойство степеней:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} = e^{0,43 \ln \frac{1}{2}} = e^{0,43 \times (-\ln 2)}
\]
Значение \( \ln 2 \approx 0,6931 \), значит:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,43} = e^{-0,43 \times 0,6931} = e^{-0,2977}
\]
Вычислим \( e^{-0,2977} \):
\[ e^{-0,2977} \approx 0,742 \]
(можно использовать калькулятор или таблицу)
Шаг 5. Итоговое значение
Подставляем обратно:
\[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - 0,742 = 0,258
\]
Ответ:
Распавшихся ядер за время, равное 0,43 периода полураспада, составляет примерно 0,26 (округлённо до сотых).
Ответ: 0,26
