Упрости и найди значение выражения  x 3 − 8 y 3 x 3 − 4 x y 2 ⋅ 2 x y + 4 y 2 x 2 + 2 x y + 4 y 2 x 3 −4xy 2 x 3 −8y 3 ⋅ x 2 +2xy+4y 2 2xy+4y 2  при  x = − 1 2 3 , y = 3 x=−1 3 2 ,y=3

Давайте подробно разберем задачу и упростим выражение пошагово. **Дано:** \[ \frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2} \cdot \frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \] при \(x = -\frac{1}{3}\), \(y = 3\). --- ## Шаг 1: Проанализируем исходное выражение Выражение состоит из двух дробей, перемноженных: \[ \frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2} \times \frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \] Рассмотрим каждую часть отдельно. --- ## Шаг 2: Раскроем каждую часть и попробуем упростить ### Первая дробь: \(\frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2}\) Обратим внимание, что: - \(x^3 - 8 y^3\) — это разность кубов: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \] где \(a = x\), \(b=2 y\): \[ x^3 - (2 y)^3 = (x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2) \] Перепишем первую часть: \[ x^3 - 8 y^3 = (x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2) \] --- Обратим внимание на знаменатель: \[ x^3 - 4 xy^2 \] можно вынести \(x\): \[ x(x^2 - 4 y^2) \] заметим, что \(x^2 - 4 y^2\) — разность квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Значит, \[ x^2 - 4 y^2 = (x - 2 y)(x + 2 y) \] Тогда: \[ x^3 - 4 xy^2 = x (x - 2 y)(x + 2 y) \] Теперь первая дробь: \[ \frac{(x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2)}{x (x - 2 y)(x + 2 y)} \] В числителе и знаменателе есть множитель \((x - 2 y)\), его можно сократить: \[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \] --- ### Вторая дробь: \(\frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2}\) Обратим внимание: - В числителе: \(2 xy + 4 y^2\), его можно вынести за скобки \(2 y\): \[ 2 y (x + 2 y) \] - В знаменателе: \(x^2 + 2 xy + 4 y^2\), попробуем понять, можем ли мы как-то его упростить. Обратим внимание, что \(x^2 + 2 xy + 4 y^2\) — это выражение, похожее на квадрат двучлена, но с коэффициентами: \[ x^2 + 2 xy + 4 y^2 \] Это не является полным квадратом, потому что внутри \(4 y^2\), а полное выражение было бы: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2 \] Наше выражение отличается: \(4 y^2\) вместо \(y^2\). Итак, оно осталось как есть. --- ## Итоговая упрощенная форма: \[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \times \frac{2 y (x + 2 y)}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \] Обратите внимание, что в этом произведении есть фактор, который можно сократить: - В числителе второго выражения: \(2 y (x + 2 y)\), - В знаменателе первой: \(x + 2 y\), и они сократятся. Также, есть более важный момент — выражение \(\frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2}\), то есть эти числа — одинаковые, они сократятся и дадут 1. --- ## Шаг 3: Сокращения и итог После всех упрощений: \[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \times \frac{2 y (x + 2 y)}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} = \frac{2 y (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} \] Теперь \(x + 2 y\) сокращается: \[ = \frac{2 y}{x} \] --- ## Шаг 4: Подставим значение \(x = -\frac{1}{3}\), \(y = 3\): \[ \frac{2 \times 3}{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{-\frac{1}{3}} \] Деление на дробь: \[ 6 \div -\frac{1}{3} = 6 \times -3 = -18 \] --- ## Итог: **Ответ: \(-18\)** --- Если есть еще вопросы или нужно подробнее объяснить каждый шаг — сообщайте!