Упрости и найди значение выражения x 3 − 8 y 3 x 3 − 4 x y 2 ⋅ 2 x y + 4 y 2 x 2 + 2 x y + 4 y 2 x 3 −4xy 2 x 3 −8y 3 ⋅ x 2 +2xy+4y 2 2xy+4y 2 при x = − 1 2 3 , y = 3 x=−1 3 2 ,y=3
Давайте подробно разберем задачу и упростим выражение пошагово.
Дано:
\[ \frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2} \cdot \frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \]
при \(x = -\frac{1}{3}\), \(y = 3\).
Шаг 1: Проанализируем исходное выражение
Выражение состоит из двух дробей, перемноженных:
\[ \frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2} \times \frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \]
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Шаг 2: Раскроем каждую часть и попробуем упростить
Первая дробь: \(\frac{x^3 - 8 y^3}{x^3 - 4 xy^2}\)
Обратим внимание, что:
- \(x^3 - 8 y^3\) — это разность кубов:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
где \(a = x\), \(b=2 y\):
\[ x^3 - (2 y)^3 = (x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2) \]
Перепишем первую часть:
\[ x^3 - 8 y^3 = (x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2) \]
Обратим внимание на знаменатель:
\[ x^3 - 4 xy^2 \]
можно вынести \(x\):
\[ x(x^2 - 4 y^2) \]
заметим, что \(x^2 - 4 y^2\) — разность квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Значит,
\[ x^2 - 4 y^2 = (x - 2 y)(x + 2 y) \]
Тогда:
\[ x^3 - 4 xy^2 = x (x - 2 y)(x + 2 y) \]
Теперь первая дробь:
\[ \frac{(x - 2 y)(x^2 + 2 xy + 4 y^2)}{x (x - 2 y)(x + 2 y)} \]
В числителе и знаменателе есть множитель \((x - 2 y)\), его можно сократить:
\[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \]
Вторая дробь: \(\frac{2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2}\)
Обратим внимание:
- В числителе: \(2 xy + 4 y^2\), его можно вынести за скобки \(2 y\):
\[ 2 y (x + 2 y) \]
- В знаменателе: \(x^2 + 2 xy + 4 y^2\), попробуем понять, можем ли мы как-то его упростить.
Обратим внимание, что \(x^2 + 2 xy + 4 y^2\) — это выражение, похожее на квадрат двучлена, но с коэффициентами:
\[ x^2 + 2 xy + 4 y^2 \]
Это не является полным квадратом, потому что внутри \(4 y^2\), а полное выражение было бы:
\[ (x + y)^2 = x^2 + 2 xy + y^2 \]
Наше выражение отличается: \(4 y^2\) вместо \(y^2\).
Итак, оно осталось как есть.
Итоговая упрощенная форма:
\[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \times \frac{2 y (x + 2 y)}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} \]
Обратите внимание, что в этом произведении есть фактор, который можно сократить:
- В числителе второго выражения: \(2 y (x + 2 y)\),
- В знаменателе первой: \(x + 2 y\), и они сократятся.
Также, есть более важный момент — выражение \(\frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x^2 + 2 xy + 4 y^2}\), то есть эти числа — одинаковые, они сократятся и дадут 1.
Шаг 3: Сокращения и итог
После всех упрощений:
\[ \frac{x^2 + 2 xy + 4 y^2}{x (x + 2 y)} \times \frac{2 y (x + 2 y)}{x^2 + 2 xy + 4 y^2} = \frac{2 y (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} \]
Теперь \(x + 2 y\) сокращается:
\[ = \frac{2 y}{x} \]
Шаг 4: Подставим значение \(x = -\frac{1}{3}\), \(y = 3\):
\[ \frac{2 \times 3}{-\frac{1}{3}} = \frac{6}{-\frac{1}{3}} \]
Деление на дробь:
\[ 6 \div -\frac{1}{3} = 6 \times -3 = -18 \]
Итог:
Ответ: \(-18\)
Если есть еще вопросы или нужно подробнее объяснить каждый шаг — сообщайте!
