Игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «при первом броске выпало 4 очка».
Давайте решим задачу поэтапно.
Условие:
- Кубик (игральная кость) бросают дважды.
- Известно, что сумма очков больше 7.
- Нужно найти вероятность того, что при первом броске выпало 4 очка.
Шаг 1: Обозначения и возможные исходы
Обозначим, что результате первого броска — это число \( A \), а второго — число \( B \).
Каждое из чисел — от 1 до 6.
Обозначим событие:
- \( S \) — сумма очков больше 7, то есть \( A + B > 7 \).
- \( E \) — при первом броске выпало 4 очка, то есть \( A = 4 \).
Нам нужно найти условную вероятность:
\[
P(E \mid S) = \frac{P(E \cap S)}{P(S)}
\]
Шаг 2: Находим \( P(S) \) — вероятность того, что сумма больше 7
Общее количество исходов при двух бросках — 36 (6 вариантов для первого и 6 для второго).
Чтобы найти \( P(S) \), определим все успешные исходы (где сумма > 7).
Посчитаем количество таких исходов:
| \(A\) | Возможные \(B\) | Сумма \(A + B\) | Выходит >7? |
|---|---|---|---|
| 1 | 1-6 | 2-7 | Нет, только 8, 9, 10, 11, 12 |
| 2 | 1-6 | 3-8 | 8,9,10,11,12 |
| 3 | 1-6 | 4-9 | 9,10,11,12 |
| 4 | 1-6 | 5-10 | 10,11,12 |
| 5 | 1-6 | 6-11 | 11,12 |
| 6 | 1-6 | 7-12 | 12 |
Подсчитаем для каждого \(A\), сколько \(B\) дают сумму >7:
- \(A=1\): сумма >7? Нет, так как максимум — 7, и 7 не больше 7. Следовательно, для \(A=1\): 0 исходов.
- \(A=2\): сумма >7? Нет, максимум 8, так что только \(B=6\), дает сумму 8 → 1 исход: (2,6).
- \(A=3\): сумма >7? Да, для \(B=5,6\). (3,5), (3,6) → 2 исхода.
- \(A=4\): \(B=4,5,6\) → 3 исхода.
- \(A=5\): \(B=3,4,5,6\) → 4 исхода.
- \(A=6\): \(B=2,3,4,5,6\) → 5 исходов.
Итого успешных исходов:
\[ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]
Общее число возможных исходов — 36.
Следовательно,
\[ P(S) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \]
Шаг 3: Находим \( P(E \cap S) \) — вероятность, что при первом броске было 4 и сумма больше 7
Это — все исходы, где \(A=4\) и \(A+B >7\).
Для \(A=4\), чтобы сумма >7, необходимо, чтобы \(B\) было ≥ 5, так как:
\[ 4 + B > 7 \Rightarrow B > 3 \]
Значит, \( B=4, 5, 6 \).
Исходы: \((4,4), (4,5), (4,6)\).
Количество таких исходов — 3.
Вероятность из общего числа 36:
\[ P(E \cap S) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]
Шаг 4: Найти условную вероятность \( P(E \mid S) \)
\[ P(E \mid S) = \frac{P(E \cap S)}{P(S)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{12} \times \frac{12}{5} = \frac{1}{5} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]
Вероятность того, что при первом броске выпало 4 очка, при условии, что сумма выпавших очков больше 7, равна 1/5.
