Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять как находить скорости автомобилей.
Обозначим:
- ( v_2 ) — скорость второго автомобиля (км/ч)
- Тогда скорость первого автомобиля будет ( v_1 = v_2 + 10 ) км/ч, так как она на 10 км/ч больше.
Из условия:
- Расстояние обеих машин равно 560 км
- Первый приехал на 1 час раньше второго
Теперь рассмотрим время пути каждого автомобиля.
Время, затраченное каждым автомобилем:
- Для второго: ( t_2 = \frac{560}{v_2} )
- Для первого: ( t_1 = \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} )
так как первый приехал на 1 час раньше, получаем уравнение:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставим выражения для ( t_2 ) и ( t_1 ):
[
\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1
]
Теперь решим это уравнение по ( v_2 ).
Шаг 1: Приведем левую часть к общему знаменателю:
[
\frac{560 (v_2 + 10) - 560 v_2}{v_2 (v_2 + 10)} = 1
]
Шаг 2: Раскроем числитель:
[
\frac{560 v_2 + 560 \cdot 10 - 560 v_2}{v_2 (v_2 + 10)} = 1
]
Обратите внимание, что ( 560 v_2 - 560 v_2 ) сократятся:
[
\frac{5600}{v_2 (v_2 + 10)} = 1
]
Шаг 3: Перемножим обе части на знаменатель:
[
5600 = v_2 (v_2 + 10)
]
Шаг 4: Раскроем скобки:
[
5600 = v_2^2 + 10 v_2
]
Шаг 5: Получаем квадратичное уравнение:
[
v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0
]
Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:
[
v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=10 ), ( c=-5600 ).
Подставляем:
[
v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600)}}{2}
]
Вычисляем дискриминант:
[
\Delta = 100 + 22400 = 22500
]
Находим корень:
[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{22500} = 150
]
Тогда скорости:
[
v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Получаем два решения:
- ( v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 ) км/ч (некорректное, так как скорость не может быть отрицательной)
Следовательно, допустимое решение:
[
v_2 = 70 \text{ км/ч}
]
Тогда скорость первого:
[
v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч}
]
Ответ:
- Скорость второго автомобиля — 70 км/ч
- Скорость первого автомобиля — 80 км/ч
Если нужно, я могу объяснить любой шаг подробнее!
