Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять как находить скорости автомобилей.

Обозначим:

• \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч)
• Тогда скорость первого автомобиля будет \( v_1 = v_2 + 10 \) км/ч, так как она на 10 км/ч больше.

Из условия:

• Расстояние обеих машин равно 560 км
• Первый приехал на 1 час раньше второго

Теперь рассмотрим время пути каждого автомобиля.

Время, затраченное каждым автомобилем:

• Для второго: \( t_2 = \frac{560}{v_2} \)
• Для первого: \( t_1 = \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} \)

так как первый приехал на 1 час раньше, получаем уравнение: \[ t_2 - t_1 = 1 \]

Подставим выражения для \( t_2 \) и \( t_1 \): \[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \]

Теперь решим это уравнение по \( v_2 \).

Шаг 1: Приведем левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{560 (v_2 + 10) - 560 v_2}{v_2 (v_2 + 10)} = 1 \]

Шаг 2: Раскроем числитель: \[ \frac{560 v_2 + 560 \cdot 10 - 560 v_2}{v_2 (v_2 + 10)} = 1 \]

Обратите внимание, что \( 560 v_2 - 560 v_2 \) сократятся: \[ \frac{5600}{v_2 (v_2 + 10)} = 1 \]

Шаг 3: Перемножим обе части на знаменатель: \[ 5600 = v_2 (v_2 + 10) \]

Шаг 4: Раскроем скобки: \[ 5600 = v_2^2 + 10 v_2 \]

Шаг 5: Получаем квадратичное уравнение: \[ v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0 \]

Решим его с помощью формулы квадратного уравнения: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=10 \), \( c=-5600 \).

Подставляем: \[ v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600)}}{2} \]

Вычисляем дискриминант: \[ \Delta = 100 + 22400 = 22500 \]

Находим корень: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{22500} = 150 \]

Тогда скорости: \[ v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2} \]

Получаем два решения:

• \( v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \) км/ч
• \( v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \) км/ч (некорректное, так как скорость не может быть отрицательной)

Следовательно, допустимое решение: \[ v_2 = 70 \text{ км/ч} \]

Тогда скорость первого: \[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч} \]

Ответ:

• Скорость второго автомобиля — 70 км/ч
• Скорость первого автомобиля — 80 км/ч

Если нужно, я могу объяснить любой шаг подробнее!