решите уравнение 2 sin^2 x- 7 sin x-4=0

Давайте решим уравнение \( 2 \sin^2 x - 7 \sin x - 4 = 0 \).

Шаг 1: Введение заменяющей переменной
Обозначим: \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2 y^2 - 7 y - 4 = 0 \]

Шаг 2: Решение квадратного уравнения относительно \( y \)
Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где:

• \( a = 2 \)
• \( b = -7 \)
• \( c = -4 \)

Подставим:

\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} \]

Вычисляем под корнем:

\[ \sqrt{81} = 9 \]

Теперь получаем два решения:

1. \( y = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
2. \( y = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

Шаг 3: Проверка допустимых значений для \( \sin x \)
Помним, что \( \sin x \) находится в интервале \([-1, 1]\).

• Первое решение: \( y = 4 \) — не подходит, так как это неподходящее значение, выходящее за границы \([-1,1]\).
• Второе решение: \( y = -\frac{1}{2} \) — подходит, так как это в интервале \([-1,1]\).

Шаг 4: Решение уравнения для \( x \)

Итак, \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

Из известных тригонометрических значений:

\[ \sin x = -\frac{1}{2} \]

равносильно:

\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) \]

Значение \( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \):

• В основном промежутке \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \):

\[ x = -\frac{\pi}{6} \]

Но отрицательное значение — это также соотносится с точками, расположенными на круге.

Положительные решения в основном диапазоне:

• \( x = -\frac{\pi}{6} \) — в основном диапазоне.

Общий вид решений для тригономической функции:

\[ \sin x = -\frac{1}{2} \]

значит, искомые значения \( x \):

\[ x = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k \]

Посчитаем:

\[ \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \]

Тогда:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \] \[ x = \pi - \left( -\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \]

Итоговые решения:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \] и \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \], где \( k \) — целое число.

---

Если есть уточнения по диапазону поиска решений (например, от 0 до \( 2\pi \)), я могу помочь ограничить их.