Решите уравнение 2 sin^2 x- 7 sin x-4=0

Давайте решим уравнение \( 2 \sin^2 x - 7 \sin x - 4 = 0 \). Шаг 1: Введение заменяющей переменной Обозначим: \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 2 y^2 - 7 y - 4 = 0 \] Шаг 2: Решение квадратного уравнения относительно \( y \) Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где: - \( a = 2 \) - \( b = -7 \) - \( c = -4 \) Подставим: \[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} \] Вычисляем под корнем: \[ \sqrt{81} = 9 \] Теперь получаем два решения: 1. \( y = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \) 2. \( y = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) Шаг 3: Проверка допустимых значений для \( \sin x \) Помним, что \( \sin x \) находится в интервале \([-1, 1]\). - Первое решение: \( y = 4 \) — **не подходит**, так как это неподходящее значение, выходящее за границы \([-1,1]\). - Второе решение: \( y = -\frac{1}{2} \) — подходит, так как это в интервале \([-1,1]\). Шаг 4: Решение уравнения для \( x \) Итак, \( \sin x = -\frac{1}{2} \). Из известных тригонометрических значений: \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] равносильно: \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) \] Значение \( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \): - В основном промежутке \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \): \[ x = -\frac{\pi}{6} \] Но отрицательное значение — это также соотносится с точками, расположенными на круге. Положительные решения в основном диапазоне: - \( x = -\frac{\pi}{6} \) — в основном диапазоне. Общий вид решений для тригономической функции: \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] значит, искомые значения \( x \): \[ x = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k \] Посчитаем: \[ \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \] Тогда: \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \] \[ x = \pi - \left( -\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \] #### Итоговые решения: \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \] и \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \], где \( k \) — целое число. --- Если есть уточнения по диапазону поиска решений (например, от 0 до \( 2\pi \)), я могу помочь ограничить их.