Итоговая контрольная работа Вариант 2 1. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 7 см, а диагональ трапеции делит острый угол попо лам. Найдите среднюю линию трапеции, если пери- метр трапеции равен З1 см. 2. В трапецию, периметр которой равен З6 дм, вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции- 10 З. В окружность вписана равнобедренная трапецня, ост рый угол между диагоналями которой равен 26' Най- дите углы трапеции, если одно из оснований трапеции проходит через центр окружности.

Давайте подробно разберем каждую задачу из вашего варианта, чтобы вы могли понять, как найти решение. --- ### Задача 1 **Дано:** - Равнобедренная трапеция - Меньшее основание \(AB = 7\,\text{см}\) - Диагональ делит острый угол пополам - Периметр \(P = 31\,\text{см}\) **Найти:** среднюю линию трапеции --- ### Решение задачи 1 **Шаг 1. Обозначения и свойства** Обозначим: - меньшее основание \(AB = a = 7\,\text{см}\) - большее основание \(CD = b\) (неизвестное) - высота трапеции — \(h\) - средняя линия — \(m = \frac{a + b}{2}\) Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \[ AD = BC = c \] --- **Шаг 2. Свойства диагоналей и углов** Диагональ \(AC\) делит острый угол пополам, значит, диагональ делит угол на два равных части. В равнобедренной трапеции диагонали равны (\(AC = BD\)). --- **Шаг 3. Связь диагоналей с основанием** Пусть: - \(h\) — высота трапеции - Проведем перпендикуляр из вершины \(A\) к основанию \(CD\); обозначим точку пересечения как \(H\). Из правого треугольника \(AHD\): \[ AH = h,\quad HD = \frac{b - a}{2} \] Образуются равнобедренные треугольники, так как трапеция равнобедренная. --- **Шаг 4. Использование периметра** Периметр: \[ a + b + 2c = 31 \] Нам нужно выразить \(c\) через \(b\). --- **Шаг 5. Связь диагоналей и углов** Поскольку диагональ делит острый угол пополам, и трапеция равнобедренная, то угол при основании равен \( \alpha \), и в треугольнике \(AHD\): \[ \cos \alpha = \frac{\text{основание}}{\text{гипотенуза (диагональ)}} = \frac{\frac{b - a}{2}}{c} \] Также известно, что: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 \] --- **Шаг 6. Находим среднюю линию** Средняя линия: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Из условия надо найти \(b\). --- ### Итог Поскольку в условии дана периметрическая задача с датой "периметр равен 31 см", а также есть упоминание деления углов пополам диагональю, а справка о равнобедренной трапеции и делении угла — типичный подход к решению. Таким образом, результат — это будет средняя линия: \[ \boxed{ m = \frac{7 + b}{2} } \] --- **Поскольку уточнений о других параметрах или цепи решений в условии нет, более точное числовое решение требует дополнительных данных.** --- ## Резюме по задаче 1: - Средняя линия равна \(\frac{7 + b}{2}\), где \(b\) можно найти из уравнения периметра или дополнительных условий. - В данном случае, чтобы получить точное значение \(b\), нужны дополнительные данные или предположения. --- ### Задача 2 **Дано:** - Периметр трапеции \(= 6\,\text{дм}\) - Трапеция описана вокруг окружности (т.е. сама трапеция — вписанная окружность) **Найти:** длину средней линии --- ### Решение задачи 2 **Шаг 1. Свойство трапеции, вписанной в окружность** Трапеция, в которую вписана окружность, — это **трапеция с суммой оснований равной сумме боковых сторон**: \[ AB + CD = AD + BC \] или, для равнобедренной, это вытекает из свойств. --- **Шаг 2. Периметр и свойства** Обозначим: - \(a\) и \(b\) — основания - боковые стороны одинаковы: \(c\) Из условия: \[ a + b + 2c = 6\,\text{дм} \] Также, если трапеция описана вокруг окружности, то сумма противоположных сторон равна: \[ a + c = b + c \implies a = b \] То есть, основания равны: \(a = b\). --- **Шаг 3. Получаем квадраты сторон** Поскольку основания равны, значит: \[ a = b \] Общая длина периметра: \[ a + a + 2c = 6 \implies 2a + 2c = 6 \implies a + c = 3 \] --- **Шаг 4. Средняя линия** Средняя линия — это: \[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{a + a}{2} = a \] Из предыдущего уравнения: \[ a + c = 3 \] Поскольку \(a = b\), и из условий ненакладываемых ограничений, чтобы найти \(a\), необходимо знать сторону \(c\). Но, поскольку \(a + c = 3\), а \(c > 0\), то \(a < 3\). **Классический случай**, что средняя линия равна \(a\), и поскольку она равна основанию, тогда: \[ \boxed{ \text{Средняя линия} = a } \] --- ### Итог: Без дополнительных данных предположим, что средняя линия равна стороне \(a\), а поскольку \(a + c = 3\) и периметр фиксирован, то **длина средней линии** равна **основанию**, то есть: \[ \boxed{ \text{Средняя линия} = a } \] --- ### Задача 3 **Дано:** - В окружность вписана равнобедренная трапеция - Острый угол между диагоналями \(= 26^\circ\) - Одна из сторон проходит через центр окружности (это означает, что эта сторона — диаметр, следовательно, угол, образованный этим диаметром и любой другой точкой — \(90^\circ\)) - Требуется найти углы трапеции --- ### Решение задачи 3 **Шаг 1. Свойства вписанных трапеций** - Вписанная окружность в трапецию — значит, трапеция — тангенциальная - Углы и диагонали связаны через свойства биссектрис и углов --- **Шаг 2. Анализ углов** Острый угол между диагоналями — \(26^\circ\) Так как диагонали равны в равнобедренной трапеции, и угол между ними есть \(26^\circ\), то можно установить: - Углы при основаниях трапеции **Шаг 3. Углы при основании** Поскольку одна сторона проходит через центр окружности, она — диаметр, значит, она прямая и делит окружность пополам — следовательно, углы, образованные диаметром с концами дуги, равны \(90^\circ\). --- **Шаг 4. Итоговые вычисления** - Угол между диагоналями \(= 26^\circ\) - Углы при основании: если одна из сторон является диаметром, то угол при основании, противоположный диаметру, равен \(90^\circ\). - Остальные углы — дополняют до \(180^\circ\), следовательно, они равны \(90^\circ \pm \text{некоторому значению}\). **Допустимые значения**: - Углы трапеции: \(A\) и \(D\) — при основании, \(B\) и \(C\) — при другом основании. Общий ответ с учетом данных: \[ \boxed{ \text{Углы трапеции: } \angle A = \angle D = 90^\circ, \quad \angle B = \angle C = 90^\circ } \] или, если учитывать угол между диагоналями, то боковые углы по \(26^\circ\). --- ## Итоговая краткая формулировка для всех задач: 1. Средняя линия равна \(\frac{7 + b}{2}\), где \(b\) определяется из условий. 2. Вписанная окружность в трапецию — основание равно стороне, средняя линия равна основанию. 3. Вписанная равнобедренная трапеция с диагоналями, образующими угол \(26^\circ\), имеет углы при основании, близкие к \(90^\circ\). Если вам нужно более конкретное числовое решение или помощь с определенным пунктом — скажите!