Итоговая контрольная работа Вариант 2 1. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 7 см, а диагональ трапеции делит острый угол попо лам. Найдите среднюю линию трапеции,…

Давайте подробно разберем каждую задачу из вашего варианта, чтобы вы могли понять, как найти решение.

---

Задача 1

Дано:

• Равнобедренная трапеция
• Меньшее основание \(AB = 7\,\text{см}\)
• Диагональ делит острый угол пополам
• Периметр \(P = 31\,\text{см}\)

Найти: среднюю линию трапеции

---

Решение задачи 1

Шаг 1. Обозначения и свойства

Обозначим:

• меньшее основание \(AB = a = 7\,\text{см}\)
• большее основание \(CD = b\) (неизвестное)
• высота трапеции — \(h\)
• средняя линия — \(m = \frac{a + b}{2}\)

Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \[ AD = BC = c \]

---

Шаг 2. Свойства диагоналей и углов

Диагональ \(AC\) делит острый угол пополам, значит, диагональ делит угол на два равных части. В равнобедренной трапеции диагонали равны (\(AC = BD\)).

---

Шаг 3. Связь диагоналей с основанием

Пусть:

• \(h\) — высота трапеции
• Проведем перпендикуляр из вершины \(A\) к основанию \(CD\); обозначим точку пересечения как \(H\).

Из правого треугольника \(AHD\): \[ AH = h,\quad HD = \frac{b - a}{2} \]

Образуются равнобедренные треугольники, так как трапеция равнобедренная.

---

Шаг 4. Использование периметра

Периметр: \[ a + b + 2c = 31 \]

Нам нужно выразить \(c\) через \(b\).

---

Шаг 5. Связь диагоналей и углов

Поскольку диагональ делит острый угол пополам, и трапеция равнобедренная, то угол при основании равен \( \alpha \), и в треугольнике \(AHD\): \[ \cos \alpha = \frac{\text{основание}}{\text{гипотенуза (диагональ)}} = \frac{\frac{b - a}{2}}{c} \]

Также известно, что: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 \]

---

Шаг 6. Находим среднюю линию

Средняя линия: \[ m = \frac{a + b}{2} \]

Из условия надо найти \(b\).

---

Итог

Поскольку в условии дана периметрическая задача с датой "периметр равен 31 см", а также есть упоминание деления углов пополам диагональю, а справка о равнобедренной трапеции и делении угла — типичный подход к решению.
Таким образом, результат — это будет средняя линия: \[ \boxed{ m = \frac{7 + b}{2} } \]

---

Поскольку уточнений о других параметрах или цепи решений в условии нет, более точное числовое решение требует дополнительных данных.

---

Резюме по задаче 1:

• Средняя линия равна \(\frac{7 + b}{2}\), где \(b\) можно найти из уравнения периметра или дополнительных условий.
• В данном случае, чтобы получить точное значение \(b\), нужны дополнительные данные или предположения.

---

Задача 2

Дано:

• Периметр трапеции \(= 6\,\text{дм}\)
• Трапеция описана вокруг окружности (т.е. сама трапеция — вписанная окружность)

Найти: длину средней линии

---

Решение задачи 2

Шаг 1. Свойство трапеции, вписанной в окружность

Трапеция, в которую вписана окружность, — это трапеция с суммой оснований равной сумме боковых сторон: \[ AB + CD = AD + BC \]

или, для равнобедренной, это вытекает из свойств.

---

Шаг 2. Периметр и свойства

Обозначим:

• \(a\) и \(b\) — основания
• боковые стороны одинаковы: \(c\)

Из условия: \[ a + b + 2c = 6\,\text{дм} \]

Также, если трапеция описана вокруг окружности, то сумма противоположных сторон равна:

\[ a + c = b + c \implies a = b \]

То есть, основания равны: \(a = b\).

---

Шаг 3. Получаем квадраты сторон

Поскольку основания равны, значит: \[ a = b \]

Общая длина периметра: \[ a + a + 2c = 6 \implies 2a + 2c = 6 \implies a + c = 3 \]

---

Шаг 4. Средняя линия

Средняя линия — это: \[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{a + a}{2} = a \]

Из предыдущего уравнения: \[ a + c = 3 \]

Поскольку \(a = b\), и из условий ненакладываемых ограничений, чтобы найти \(a\), необходимо знать сторону \(c\). Но, поскольку \(a + c = 3\), а \(c > 0\), то \(a < 3\).

Классический случай, что средняя линия равна \(a\), и поскольку она равна основанию, тогда:

\[ \boxed{ \text{Средняя линия} = a } \]

---

Итог:

Без дополнительных данных предположим, что средняя линия равна стороне \(a\), а поскольку \(a + c = 3\) и периметр фиксирован, то длина средней линии равна основанию, то есть:

\[ \boxed{ \text{Средняя линия} = a } \]

---

Задача 3

Дано:

• В окружность вписана равнобедренная трапеция
• Острый угол между диагоналями \(= 26^\circ\)
• Одна из сторон проходит через центр окружности (это означает, что эта сторона — диаметр, следовательно, угол, образованный этим диаметром и любой другой точкой — \(90^\circ\))
• Требуется найти углы трапеции

---

Решение задачи 3

Шаг 1. Свойства вписанных трапеций

• Вписанная окружность в трапецию — значит, трапеция — тангенциальная
• Углы и диагонали связаны через свойства биссектрис и углов

---

Шаг 2. Анализ углов

Острый угол между диагоналями — \(26^\circ\)

Так как диагонали равны в равнобедренной трапеции, и угол между ними есть \(26^\circ\), то можно установить:

• Углы при основаниях трапеции

Шаг 3. Углы при основании

Поскольку одна сторона проходит через центр окружности, она — диаметр, значит, она прямая и делит окружность пополам — следовательно, углы, образованные диаметром с концами дуги, равны \(90^\circ\).

---

Шаг 4. Итоговые вычисления

• Угол между диагоналями \(= 26^\circ\)
• Углы при основании: если одна из сторон является диаметром, то угол при основании, противоположный диаметру, равен \(90^\circ\).
• Остальные углы — дополняют до \(180^\circ\), следовательно, они равны \(90^\circ \pm \text{некоторому значению}\).

Допустимые значения:

• Углы трапеции: \(A\) и \(D\) — при основании, \(B\) и \(C\) — при другом основании.

Общий ответ с учетом данных:

\[ \boxed{ \text{Углы трапеции: } \angle A = \angle D = 90^\circ, \quad \angle B = \angle C = 90^\circ } \]

или, если учитывать угол между диагоналями, то боковые углы по \(26^\circ\).

---

Итоговая краткая формулировка для всех задач:

1. Средняя линия равна \(\frac{7 + b}{2}\), где \(b\) определяется из условий.
2. Вписанная окружность в трапецию — основание равно стороне, средняя линия равна основанию.
3. Вписанная равнобедренная трапеция с диагоналями, образующими угол \(26^\circ\), имеет углы при основании, близкие к \(90^\circ\).

Если вам нужно более конкретное числовое решение или помощь с определенным пунктом — скажите!