Давайте разберёмся с задачей поэтапно.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы.
- Нужно найти угол, лежащий напротив этого катета.
Обозначим:
- Гипотенузу — (c).
- Катет, о котором идёт речь — (a).
- Другой катет — (b).
По условию:
[
a = \frac{c}{2}
]
Нам нужно найти угол, противоположный этому катету, — обозначим его (\alpha).
Шаг 1: Используем свойства прямоугольного треугольника
Из теоремы Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставляем (a = \frac{c}{2}):
[
\left(\frac{c}{2}\right)^2 + b^2 = c^2
]
[
\frac{c^2}{4} + b^2 = c^2
]
Выразим (b^2):
[
b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{4c^2}{4} - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4}
]
Следовательно:
[
b = \frac{\sqrt{3}c}{2}
]
Шаг 2: Определение угла (\alpha)
Угол (\alpha), лежащий напротив катета (a), связан с отношением противолежащего катета к гипотенузе:
[
\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2}
]
Отсюда:
[
\alpha = \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ
]
Ответ:
Угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.
