В прчмоугольном треугольнике если катетравентполовине гипотенузы, то угол, лежащий протев этого катета равен....
Давайте разберёмся с задачей поэтапно.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы.
- Нужно найти угол, лежащий напротив этого катета.
Обозначим:
- Гипотенузу — \(c\).
- Катет, о котором идёт речь — \(a\).
- Другой катет — \(b\).
По условию: \[ a = \frac{c}{2} \]
Нам нужно найти угол, противоположный этому катету, — обозначим его \(\alpha\).
Шаг 1: Используем свойства прямоугольного треугольника
Из теоремы Пифагора:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
Подставляем \(a = \frac{c}{2}\):
\[ \left(\frac{c}{2}\right)^2 + b^2 = c^2 \]
\[ \frac{c^2}{4} + b^2 = c^2 \]
Выразим \(b^2\):
\[ b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{4c^2}{4} - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4} \]
Следовательно:
\[ b = \frac{\sqrt{3}c}{2} \]
Шаг 2: Определение угла \(\alpha\)
Угол \(\alpha\), лежащий напротив катета \(a\), связан с отношением противолежащего катета к гипотенузе:
\[ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2} \]
Отсюда:
\[ \alpha = \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ \]
Ответ:
Угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.
