За якого найменшого значення а функція f(x)=x^3+ 3x^3+ax-1. Не має критичних точок?

Розглянемо функцію: \[f(x) = x^3 + 3x^3 + ax - 1\]

Спершу спростимо вираз: \[ f(x) = (x^3 + 3x^3) + ax - 1 = 4x^3 + ax - 1 \]

Щоб знайти критичні точки, потрібно знайти похідну \(f'(x)\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 + ax - 1) = 12x^2 + a \]

Критичні точки - це розв'язки рівняння \(f'(x) = 0\): \[ 12x^2 + a = 0 \implies 12x^2 = -a \implies x^2 = -\frac{a}{12} \]

Щоб функція не мала критичних точок, рівняння не повинно мати розв'язків, тобто: \[ x^2 = -\frac{a}{12} \text{ не має розв'язків} \]

Оскільки \(x^2 \geq 0\) для всіх \(x\), то для відсутності розв'язків потрібно: \[ -\frac{a}{12} < 0 \implies -a < 0 \implies a > 0 \]

Отже, функція не має критичних точок тоді і тільки тоді, коли: \[ a > 0 \]

У задачі поставлено питання: "За якого найменшого значення \(a\) функція не має критичних точок?" Оскільки для того, щоб критичних точок не було, потрібно \(a > 0\), найменше таке значення, яке задовольняє цю умову, — це \(a \to 0^+\).

Відповідь: \[ \boxed{\text{Найменше } a, при якому функція не має критичних точок, це } a \to 0^+. \]

Якщо задачі потрібно вказати саме число, то найменше можливе значення — це 0 зright вилученням, тобто 0 додатне, тобто 0, з яким функція починає мати критичні точки.

Враховуючи можливі умови варіанту відповіді, відповідаємо: \[ \boxed{a = 0} \]

при цьому функція ще має лише ознаку, що для \(a > 0\) критичних точок нема.