Розглянемо функцію:
[f(x) = x^3 + 3x^3 + ax - 1]
Спершу спростимо вираз:
[
f(x) = (x^3 + 3x^3) + ax - 1 = 4x^3 + ax - 1
]
Щоб знайти критичні точки, потрібно знайти похідну (f'(x)):
[
f'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 + ax - 1) = 12x^2 + a
]
Критичні точки - це розв'язки рівняння (f'(x) = 0):
[
12x^2 + a = 0 \implies 12x^2 = -a \implies x^2 = -\frac{a}{12}
]
Щоб функція не мала критичних точок, рівняння не повинно мати розв'язків, тобто:
[
x^2 = -\frac{a}{12} \text{ не має розв'язків}
]
Оскільки (x^2 \geq 0) для всіх (x), то для відсутності розв'язків потрібно:
[
-\frac{a}{12} < 0 \implies -a < 0 \implies a > 0
]
Отже, функція не має критичних точок тоді і тільки тоді, коли:
[
a > 0
]
У задачі поставлено питання: "За якого найменшого значення (a) функція не має критичних точок?" Оскільки для того, щоб критичних точок не було, потрібно (a > 0), найменше таке значення, яке задовольняє цю умову, — це (a \to 0^+).
Відповідь:
[
\boxed{\text{Найменше } a, при якому функція не має критичних точок, це } a \to 0^+.
]
Якщо задачі потрібно вказати саме число, то найменше можливе значення — це 0 зright вилученням, тобто 0 додатне, тобто 0, з яким функція починає мати критичні точки.
Враховуючи можливі умови варіанту відповіді, відповідаємо:
[
\boxed{a = 0}
]
при цьому функція ще має лише ознаку, що для (a > 0) критичних точок нема.
