Решить задания
Вот подробное решение по каждому заданию:
Задача 2. Изобразить на координатной оси числовой промежуток, соответствующий неравенствам:
а) \(-2 < x < -1\)
б) \(-4 \leq x < 1\)
в) \(x < 0\)
г) \(x \geq 8\)
Объяснение:
- Для каждого неравенства нужно построить соответствующую линию на числовой оси и указать открытые или закрытые точки.
- Открытые кружки показывают, что значение не входит в промежуток (стрелки
<или>), а закрытые — входит (неравенства с «≦» или «≧»).
Решение:
а) \(-2 < x < -1\):
- Открытые кружки на -2 и -1, соединённые линией между ними.
б) \(-4 \leq x < 1\):
- Закрытая точка в -4, открытая в 1, соединённые линией.
в) \(x < 0\):
- Стрелка указывает на всю ось слева от нуля (безконечность слева). Открытая точка в 0.
г) \(x \geq 8\):
- Закрытая точка в 8, стрелка направлена вправо.
Задача 3. С помощью знаков \(\in \mathbb{Z}\) запишите, принадлежит ли данное число указанному числовому промежутку:
а) 5, (4; +∞)
- 5 > 4, значит 5 принадлежит интервалу (4; +∞).
Ответ: да.
б) \(-2; [-1; 3]\)
- Число \(-2\).
- В интервале \([-1; 3]\), \(-2\) не входит, так как \(-2 < -1\).
Ответ: нет.
в) 4, (1; 4)
- 4 принадлежит открытому интервалу (1; 4), если только не входит в него.
- Обычно интервал (1; 4) не включает 4, значит \(\ 4 \notin (1; 4)\).
Ответ: нет.
г) 3, [3; 8]
- 3 входит в интервал [3; 8], так как граница включена.
Ответ: да.
Задача 4. Изобразить на координатной оси числовые промежутки \((-3; 4]\) и \([3; 7)\), указать объединение и пересечение этих промежутков.
Объяснение:
- \((-3; 4]\): открытая в -3, закрытая в 4.
- \([3; 7)\): закрытая в 3, открытая в 7.
Объединение:
- Объединяет все точки, входящие хотя бы в один интервал: \((-3; 7)\), так как эти интерваллы соединяются через точку 3.
Пересечение:
- Общие точки двух интервалов: от 3 до 4, — 3 включено, 4 — входит в первый интервал, но не в второй (так как там — открытая), значит пересечение — \([3; 4)\).
Задача 5. Для чисел \(a\) и \(b\) выполняются неравенства:
\[ 20 < a < 21, \quad 3 \leq b \leq 4 \]
Между какими целыми числами заключочно число:
а) \(a + b\)
б) \(a \cdot b\)
в) \(a - b\)
г) \(a : b\)?
Объяснение:
- \(a\) — любое дробное число между 20 и 21, так что целых чисел в интервале — только 20 и 21, но равно не включают.
- \(b\) — целое число 3 или 4.
Рассмотрим случаи:
а) \(a + b\):
- минимум: чуть больше 20 + 3 = чуть больше 23
- максимум: чуть меньше 21 + 4 = чуть меньше 25
- число лежит в диапазоне \((23; 25)\), целых чисел — это 24.
Ответ: 24.
б) \(a \cdot b\):
- максимум: чуть меньше 21 * 4 = 84
- минимум: чуть больше 20 * 3 = 60
- число в диапазоне \((60; 84)\), целых — от 61 до 83.
Ответ: целые числа от 61 до 83.
в) \(a - b\):
- максимум: чуть меньше 21 - 3 = чуть меньше 18
- минимум: чуть больше 20 - 4 = чуть больше 16
- число в диапазоне \((16; 18)\), то есть целых — 17 или 18? Нет, так как границы не включены, но 18 — не входит, а 17 — входит, потому что 17 внутри диапазона.
Ответ: 17 или 18.
г) \(a : b\):
- деление \(a / b\):
- при \(b=3\): чуть больше 20/3 ≈ 6.66, чуть меньше 21/3=7, т.е. результаты между чуть больше 6.66 и чуть меньше 7.
- при \(b=4\): чуть больше 20/4=5, чуть меньше 21/4=5.25, диапазон \((5; 5.25)\).
- Тогда деления лежат примерно в диапазонах (5; 7), целых: 6 и 5, но так как границы не включены, — не только эти числа.
- Целых чисел: 6 (при делении примерно около 6.2) и 5 (около 5.1).
Ответ: 5 и 6.
Задача 6. Докажите свойство числовых неравенств:
Если \(c < 0\) и \(a < b\), то:
\[
a c > b c
\]
Доказательство:
- Если \(c < 0\), то умножение на \(c\) меняет знак неравенства.
- Так как \(a < b\), то при умножении на отрицательное число:
\[ a c > b c \]
Обоснование:
- Умножая неравенство на отрицательное число, мы меняем знак:
\[ a < b \implies a c > b c \quad \text{(если } c < 0\text{)}. \]
Если нужно подробнее пояснить какую-то часть, скажи!
