Площадь части круга радиусом R, расположенной вне вписанного в него квадрата, равна
Для решения задачи необходимо определить площадь части круга радиусом R, которая находится вне вписанного в него квадрата.
Общий план решения:
- Понять геометрическую ситуацию
- Определить размеры квадрата внутри круга
- Вычислить площадь всей окружности
- Вычислить площадь квадрата и его расположение относительно круга
- Найти площадь части круга вне квадрата
Шаг 1: Геометрическая объяснение
Рассмотрим круг радиуса R. Внутри него вписан квадрат, боковая сторона которого касается окружности в четырёх точках. Нам нужно найти площадь части круга, которая расположена вне квадрата.
Шаг 2: Размеры квадрата
Вписанный квадрат – это квадрат, у которого все вершины лежат на окружности.
У известен радиус R окружности.
Длина диагонали квадрата равна диаметру окружности:
\[ d_{\text{квадрата}} = 2R \]
Поскольку диагональ квадрата со стороной \( a \) равна:
\[ d = a \sqrt{2} \]
получаем:
\[ a \sqrt{2} = 2R \Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R \sqrt{2} \]
Итак:
\[ a = R \sqrt{2} \]
Шаг 3: Площадь всего круга
Площадь круга:
\[ S_{\text{круг}} = \pi R^2 \]
Шаг 4: Площадь квадрата
Площадь квадрата:
\[ S_{\text{квадрата}} = a^2 = (R \sqrt{2})^2 = R^2 \times 2 = 2 R^2 \]
Шаг 5: Взаимное расположение
Квадрат полностью вписан внутри круга, так как его вершины на окружности, а он симметричен.
Область, которую нужно найти — это часть круга, которая не входит в квадрат.
Площадь искомой части равна:
\[ S_{\text{часть}} = S_{\text{круг}} - S_{\text{квадрата}} = \pi R^2 - 2 R^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \pi R^2 - 2 R^2 } \]
или более компактно:
\[ R^2 (\pi - 2) \]
Если есть дополнительные условия или уточнения, сообщите.
