Задумали трехзначное число которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного и получилось число 72

Давайте разберём задачу пошагово. Я объясню всё подробно, чтобы понять каждое действие. --- ### Шаг 1: Постановка задачи - Задумали трёхзначное число, которое: - больше 700 - делится на 15 - Потом меняют местами цифры в разрядах десятков и единиц. - Полученное число вычли из первоначального и результат равен 72. Нам нужно найти исходное число. --- ### Шаг 2: Обозначения Обозначим исходное число через: \[ X = 100a + 10b + c, \] где: - \( a \) — цифра сотен (от 7 до 9, так как число больше 700), - \( b \) — цифра десятков, - \( c \) — цифра единиц. --- ### Шаг 3: Условия 1. **Число больше 700:** \[ a \geq 7. \] 2. **Число делится на 15:** \[ X \equiv 0 \pmod{15}. \] Поскольку 15 = 3 × 5. - Для делимости на 5, последняя цифра \( c \) должна быть 0 или 5. \[ c \in \{0, 5\}. \] - Для делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3: \[ a + b + c \equiv 0 \pmod{3}. \] --- ### Шаг 4: Новое число после перестановки После обмена местами цифр в разрядах десятков и единиц, получаем число: \[ Y = 100a + 10c + b. \] --- ### Шаг 5: Условие по разности По условию: \[ X - Y = 72. \] Подставим выражения: \[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72. \] Отнимем: \[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72. \] Упростим: \[ (10b - b) + (c - 10c) = 72, \] что даёт: \[ 9b - 9c = 72. \] Вынесем 9 за скобки: \[ 9(b - c) = 72, \] и, делая деление обеих частей: \[ b - c = 8. \] --- ### Шаг 6: Анализ полученного уравнения Мы получили: \[ b - c = 8. \] Поскольку \( c \) — это цифра 0 или 5, рассмотрим оба варианта: - Если \( c = 0 \), то: \[ b = 8. \] - Если \( c = 5 \), то: \[ b = 13, \] что невозможно, так как цифра в разряде — от 0 до 9. Итак, **единственный допустимый случай**: \[ c=0, \quad b=8. \] --- ### Шаг 7: Подставим найденные значения и условия делимости - \( c=0 \), - \( b=8 \), - \( a \geq 7 \), - число делится на 15. Пусть \( a = 7,8 \) или 9 (так как число больше 700, а также должна соблюдаться делимость на 3 и 5). --- ### Шаг 8: Проверка делимости на 15 1. **Последняя цифра \( c=0 \)** — подходит для делимости на 5. 2. **Делимость на 3:** \[ a + b + c = a + 8 + 0 = a + 8. \] Значит, \( a + 8 \) должно делиться на 3. Проверим возможные значения \( a \): - \( a=7 \): \[ 7 + 8 = 15 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Да.} \] - \( a=8 \): \[ 8 + 8 = 16 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Нет.} \] - \( a=9 \): \[ 9 + 8 = 17 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Нет.} \] Значит, **только \( a=7 \)**. --- ### Шаг 9: Итоговое число Образует число: \[ X = 100 \times 7 + 10 \times 8 + 0 = 700 + 80 + 0 = 780. \] Проверка: - Больше 700 — да. - Делится на 15? Проверим делимость: \[ 780 \div 15 = 52, \] то есть делится. Всё верно. --- ### Шаг 10: Проверка условия перестановки Образовано число после перестановки: \[ Y = 100a + 10c + b = 700 + 0 + 8 = 708. \] Проверим разность: \[ X - Y = 780 - 708 = 72, \] что соответствует условию. --- ### **Ответ:** **Исходное число — 780.** --- Если нужно ещё раз объяснить или проверить — скажите!