задумали трехзначное число которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного и получилось число…
Задумали трехзначное число которое больше 700 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного и получилось число 72
Давайте разберём задачу пошагово. Я объясню всё подробно, чтобы понять каждое действие.
Шаг 1: Постановка задачи
- Задумали трёхзначное число, которое:
- больше 700
- делится на 15
- Потом меняют местами цифры в разрядах десятков и единиц.
- Полученное число вычли из первоначального и результат равен 72.
Нам нужно найти исходное число.
Шаг 2: Обозначения
Обозначим исходное число через:
\[ X = 100a + 10b + c, \]
где:
- \( a \) — цифра сотен (от 7 до 9, так как число больше 700),
- \( b \) — цифра десятков,
- \( c \) — цифра единиц.
Шаг 3: Условия
- Число больше 700:
\[ a \geq 7. \]
- Число делится на 15:
\[ X \equiv 0 \pmod{15}. \]
Поскольку 15 = 3 × 5.
- Для делимости на 5, последняя цифра \( c \) должна быть 0 или 5.
\[ c \in \{0, 5\}. \]
- Для делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3:
\[ a + b + c \equiv 0 \pmod{3}. \]
Шаг 4: Новое число после перестановки
После обмена местами цифр в разрядах десятков и единиц, получаем число:
\[ Y = 100a + 10c + b. \]
Шаг 5: Условие по разности
По условию:
\[ X - Y = 72. \]
Подставим выражения:
\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72. \]
Отнимем:
\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72. \]
Упростим:
\[ (10b - b) + (c - 10c) = 72, \]
что даёт:
\[ 9b - 9c = 72. \]
Вынесем 9 за скобки:
\[ 9(b - c) = 72, \]
и, делая деление обеих частей:
\[ b - c = 8. \]
Шаг 6: Анализ полученного уравнения
Мы получили:
\[ b - c = 8. \]
Поскольку \( c \) — это цифра 0 или 5, рассмотрим оба варианта:
- Если \( c = 0 \), то:
\[ b = 8. \]
- Если \( c = 5 \), то:
\[ b = 13, \]
что невозможно, так как цифра в разряде — от 0 до 9.
Итак, единственный допустимый случай:
\[ c=0, \quad b=8. \]
Шаг 7: Подставим найденные значения и условия делимости
- \( c=0 \),
- \( b=8 \),
- \( a \geq 7 \),
- число делится на 15.
Пусть \( a = 7,8 \) или 9 (так как число больше 700, а также должна соблюдаться делимость на 3 и 5).
Шаг 8: Проверка делимости на 15
Последняя цифра \( c=0 \) — подходит для делимости на 5.
Делимость на 3:
\[ a + b + c = a + 8 + 0 = a + 8. \]
Значит, \( a + 8 \) должно делиться на 3.
Проверим возможные значения \( a \):
- \( a=7 \):
\[ 7 + 8 = 15 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Да.} \]
- \( a=8 \):
\[ 8 + 8 = 16 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Нет.} \]
- \( a=9 \):
\[ 9 + 8 = 17 \quad \text{делится на 3?} \quad \text{Нет.} \]
Значит, только \( a=7 \).
Шаг 9: Итоговое число
Образует число:
\[ X = 100 \times 7 + 10 \times 8 + 0 = 700 + 80 + 0 = 780. \]
Проверка:
- Больше 700 — да.
- Делится на 15? Проверим делимость:
\[ 780 \div 15 = 52, \] то есть делится. Всё верно.
Шаг 10: Проверка условия перестановки
Образовано число после перестановки:
\[ Y = 100a + 10c + b = 700 + 0 + 8 = 708. \]
Проверим разность:
\[ X - Y = 780 - 708 = 72, \]
что соответствует условию.
Ответ:
Исходное число — 780.
Если нужно ещё раз объяснить или проверить — скажите!
