Основания осевого сечения усеченного конуса 4 дм и 8 дм. Угол между образующей и плоскостью основания усеченного конуса 45°. Вычислитего объем.

Давайте подробно разберем задачу о объеме усеченного конуса, основание которого — осевое сечение, и даны его параметры: основания диаметрами 4 дм и 8 дм, а также угол между образующей и плоскостью основания равен 45°. **Шаг 1. Обозначения и данные задачи** - Диаметр меньшего основания \( d_1 = 4\, \text{дм} \Rightarrow r_1 = 2\, \textдм \) - Диаметр большего основания \( d_2 = 8\, \text{дм} \Rightarrow r_2 = 4\, \textдм \) - Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 45^\circ \) Нам нужно найти объем усеченного конуса с такими параметрами. --- **Шаг 2. Определение высоты усеченного конуса** Обозначим: - \( h \) — высота усеченного конуса - \( l \) — образующая усеченного конуса Из условия задачи: угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, то есть угол между образующей \( l \) и осью цилиндра (высотой) — это 45°. Но обычно угол между образующей и плоскостью основания — это угол, образованный между образующей и осью. В этом случае, поскольку образующая — это наклонная линия, соединяющая вершину (или "начало" при сечении) с точками основания. **Важно:** В задаче говорится, что основания — это осевое сечение (если я правильно понимаю, это значит, что основание — это прямоугольное сечение, или что усеченный конус образован наклонной линией, которая образует с основанием угол 45°). --- **Шаг 3. Связь между наклоном образующей и радиусами** Поскольку угол между образующей \( l \) и основанием равен \( 45^\circ \), то: \[ \sin 45^\circ = \frac{\text{протяженность проекции образующей на высоту}}{l} \] Но у нас есть ещё и радиусы оснований: \( r_1 \) и \( r_2 \). В случае усеченного конуса, высота \( h \), образующая \( l \), и радиусы связаны через наклон. **Обозначения:** - \( h \) — высота усеченного конуса (от меньшего основания к большему) - \( l \) — длина образующей Если предположить, что основание расположено в горизонтальной плоскости, и угол между образующей и плоскостью основания равен \( 45^\circ \), то: \[ \cos 45^\circ = \frac{h}{l} \] \[ h = l \cos 45^\circ = \frac{l}{\sqrt{2}} \] Также, радиус изменения по оси: \[ r_2 - r_1 = \text{проекция радиусов по высоте} = h \times \tan 45^\circ = h \times 1 = h \] Следовательно: \[ r_2 - r_1 = h \] \[ 4 - 2 = h \] \[ h = 2\, \textдм \] Теперь, зная \( h = 2\, \textдм \), найдем \( l \): \[ h = \frac{l}{\sqrt{2}} \Rightarrow l = h \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\,\textдм \] **Итак:** - Образующая \( l = 2 \sqrt{2}\,\textдм \) - Высота \( h = 2\, \textдм \) --- **Шаг 4. Вычисление объема усеченного конуса** Формула объема усеченного конуса: \[ V = \frac{\pi h}{3} \left( r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2 \right) \] Подставляем наши значения: \[ r_1 = 2\, \textдм, \quad r_2 = 4\, \textдм, \quad h = 2\, \textдм \] Тогда: \[ V = \frac{\pi \times 2}{3} \left( 2^2 + 4^2 + 2 \times 4 \right) \] Вычисляем внутрь скобок: \[ 2^2 = 4, \quad 4^2 = 16, \quad 2 \times 4 = 8 \] Итог: \[ V = \frac{2 \pi}{3} (4 + 16 + 8) = \frac{2 \pi}{3} \times 28 \] \[ V = \frac{2 \times 28 \pi}{3} = \frac{56 \pi}{3} \] --- ****Ответ:** Объем усеченного конуса равен: \[ \boxed{ V = \frac{56 \pi}{3}\ \text{дм}^3 } \] Это примерно: \[ V \approx \frac{56 \times 3,1416}{3} \approx \frac{175,9296}{3} \approx 58,64\, \textдм^3 \] --- Если есть дополнительные уточнения или вопросы — спрашивайте!