Конечно! Сейчас я подробно объясню, что такое логарифмы, как их решать, и приведу пример с пошаговым решением.

Что такое логарифмы

Логарифм — это обратная операция возведения в степень.
Если у нас есть уравнение:
\[ a^x = b \],
то логарифм по основанию \( a \) числа \( b \) — это число \( x \):
\[ \log_a b = x \].

Значит:
\[ \log_a b = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b \].

Основные свойства логарифмов

1. Логарифм произведения:
   \[ \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \].

2. Логарифм частного:
   \[ \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \].

3. Логарифм степени:
   \[ \log_a (b^k) = k \cdot \log_a b \].

4. Изменение основания:
   \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \] — позволяет менять основание логарифма.

Как решать логарифмические уравнения?

Шаги решения:

1. Привести уравнение к одному виду логарифма, если нужно.
2. Использовать свойства логарифмов для упрощения.
3. Если возможно, перейти к экспоненте, чтобы избавиться от логарифма.
4. Решить полученное уравнение относительно переменной.
5. Проверить полученные решения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению.

Пример решения

Рассмотрим пример:

\[ \log_2 (x^2) = 3 \].

Шаг 1: Используем свойства логарифмов:
\[ \log_2 (x^2) = 2 \cdot \log_2 x \].

То есть уравнение переписывается как:
\[ 2 \cdot \log_2 x = 3 \].

Шаг 2: Найдём логарифм:
\[ \log_2 x = \frac{3}{2} \].

Шаг 3: Переводим из логарифмической формы в экспоненциальную:
\[ x = 2^{\frac{3}{2}} \].

Шаг 4: Вычисляем:
\[ x = 2^{1.5} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \].

Шаг 5: Проверка:
Подставим обратно в исходное уравнение:
\[ \log_2 ((2 \sqrt{2})^2) = \log_2 (4 \cdot 2) = \log_2 8 = 3 \].
Всё верно!

Итог:

Ответ:
\[ \boxed{x = 2 \sqrt{2}} \].

Если хотите, я могу подготовить ещё примеры или помочь с более сложными задачами!