Конечно! Решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять механизм.
Задача: Найти площадь квадрата, вокруг которого описана окружность радиуса 8.
Что известно:
- Радиус описанной окружности ( R = 8 ).
Что значит "квадрат, около которого описана окружность"?
Это описание квадрата, вокруг которого проходит окружность, и все вершины квадрата лежат на этой окружности. Такой круг называют описанной окружностью квадрата.
Связь между квадратом и его описанной окружностью:
- В описанной окружности квадрата радиус ( R ) равен расстоянию от центра квадрата до любой его вершины.
- В квадрате диаметр окружности равен диагонали квадрата.
Шаг 1. Связь между радиусом окружности и диагональю квадрата:
- Диаметр окружности равен ( 2R ).
- Диагональ квадрата ( d ) равна диаметру описанной окружности.
Значит, ( d = 2R ).
Подставим значение ( R = 8 ):
[
d = 2 \times 8 = 16.
]
Шаг 2. Связь между диагональю квадрата и его стороной:
Обозначим сторону квадрата через ( a ).
Формула диагонали квадрата:
[
d = a\sqrt{2}.
]
Отсюда:
[
a = \frac{d}{\sqrt{2}}.
]
Подставим найденное значение ( d = 16 ):
[
a = \frac{16}{\sqrt{2}}.
]
Рассчитаем ( a ):
[
a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}.
]
Шаг 3. Найти площадь квадрата:
Площадь квадрата:
[
S = a^2.
]
Подставим ( a = 8\sqrt{2} ):
[
S = (8\sqrt{2})^2 = 8^2 \times (\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128.
]
Итог:
Площадь квадрата равна (\boxed{128}).
Если понадобится более глубокое объяснение — скажи!
