Найдите площадь квадрата, около которого описана окружность радиуса 8.

Конечно! Решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять механизм.

Задача: Найти площадь квадрата, вокруг которого описана окружность радиуса 8.

Что известно:

• Радиус описанной окружности \( R = 8 \).

Что значит "квадрат, около которого описана окружность"?

Это описание квадрата, вокруг которого проходит окружность, и все вершины квадрата лежат на этой окружности. Такой круг называют описанной окружностью квадрата.

Связь между квадратом и его описанной окружностью:

• В описанной окружности квадрата радиус \( R \) равен расстоянию от центра квадрата до любой его вершины.
• В квадрате диаметр окружности равен диагонали квадрата.

Шаг 1. Связь между радиусом окружности и диагональю квадрата:

• Диаметр окружности равен \( 2R \).
• Диагональ квадрата \( d \) равна диаметру описанной окружности.

Значит, \( d = 2R \).

Подставим значение \( R = 8 \): \[ d = 2 \times 8 = 16. \]

Шаг 2. Связь между диагональю квадрата и его стороной:

Обозначим сторону квадрата через \( a \).

Формула диагонали квадрата: \[ d = a\sqrt{2}. \] Отсюда: \[ a = \frac{d}{\sqrt{2}}. \]

Подставим найденное значение \( d = 16 \): \[ a = \frac{16}{\sqrt{2}}. \]

Рассчитаем \( a \): \[ a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}. \]

Шаг 3. Найти площадь квадрата:

Площадь квадрата: \[ S = a^2. \]

Подставим \( a = 8\sqrt{2} \): \[ S = (8\sqrt{2})^2 = 8^2 \times (\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128. \]

Итог:

Площадь квадрата равна \(\boxed{128}\).

Если понадобится более глубокое объяснение — скажи!