. В треугольнике АВС AB = BC = 8.5 tan A = 8/15 Найдите АС.

Рассмотрим задачу шаг за шагом. У нас есть треугольник \( ABC \) с равными сторонами \( AB = BC = 8,5 \), и дано, что \(\tan A = \frac{8}{15}\). Требуется найти сторону \( AC \). --- ### Шаг 1: Общие данные и обозначения - Обозначим углы треугольника так: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\). - Дано: \( AB = BC = 8,5 \). Значит, треугольник \( ABC \) равнобедренный, с боксками \( AB = BC \). Это говорит, что \(\angle A\) и \(\angle C\) сочинены потому, что стороны, противоположные этим углам, равны: - стороной, противоположной \(\angle A\), является \(BC\). - стороной, противоположной \(\angle C\), является \(AB\). --- ### Шаг 2: Расположение и свойства треугольника Поскольку \( AB = BC \), то \(\angle A = \angle C \). Обозначим: \[ \angle A = \angle C = \alpha \] Тогда сумма углов треугольника: \[ \alpha + \angle B + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \angle B = 180^\circ \] или \[ \angle B = 180^\circ - 2\alpha \] --- ### Шаг 3: Использование информации о тангенсе угла А Дано: \[ \tan A = \frac{8}{15} \] \[ \boxed{\text{то есть } \tan \alpha = \frac{8}{15}} \] Из тригонометрической таблицы или прямоугольного треугольника с противоположной стороной 8 и прилегающей — 15, — можно найти гипотенузу: \[ \text{Гипотенуза} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Таким образом: \[ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{17} \] \[ \cos \alpha = \frac{\text{прилегающая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{15}{17} \] --- ### Шаг 4: Построение фигуры Обозначим точку \( B \) как вершину, а \( A \) и \( C \) — расположены так, что \( AB = BC = 8.5 \). Можем выбрать координаты для удобства: - Пусть \( B \) — в точке \( (0, 0) \). - Точка \( A \) расположена так, что угол \( \angle ABC = \alpha \). Однако, проще будет рассматривать \( \triangle ABC \) с учётом заданных сторон и углов. --- ### Шаг 5: Использование свойства равнобедренного треугольника Поскольку \( AB = BC \), и угол \( \angle A = \alpha \), то — стороны \( AB \) и \( BC \) равны. Известно, что \( AB = BC = 8,5 \). --- ### Шаг 6: Решение задачи через координаты Обозначим точку \( B \) в начале координат: \( B = (0, 0) \). Рассмотрим расположение \( A \) и \( C \): - Пусть \( A \) находится на уровне \( y \), и угол \( A \) — при вершине \( A \). - Однако, чтобы упростить, возьмем: - \( A \) на координатах \( (x_A, y_A) \) - \( C \) — симметричным относительно \( B \), поскольку \( AB = BC \). Или проще — с помощью законов синусов и косинусов. --- ### Шаг 7: Использование стороны и углов для нахождения \( AC \) Поскольку треугольник \( ABC \) равнобедренный, и у нас есть \( \angle A \), можно найти \( AC \), используя закон косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos (\angle ABC) \] Но требуется найти \( \angle ABC \): - Внутренний угол \( \angle B \) равен \( 180^\circ - 2\alpha \) (так как \( \angle A = \angle C = \alpha \)). --- ### Шаг 8: Использование технику законов синусов и косинусов Обозначим стороны: - \( a = BC = 8,5 \) - \( c = AB=8,5 \) - \( b = AC \) — искомая сторона. Здесь \( \angle A \) противолежит стороне \( a \), \( \angle C \) — противолежит стороне \( c \), и \( \angle B \) — противолежит стороне \( b \). Используем закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Поскольку \( a = c = 8,5 \), и \( \sin A = \sin C \), то \[ \frac{8,5}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin B} \] Из предыдущего расчёта: \[ \sin \alpha = \frac{8}{17} \] \[ \sin B = \sin (180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha \] (так как \( \sin (180^\circ - x) = \sin x \)), и \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{8}{17} \times \frac{15}{17} = \frac{2 \times 8 \times 15}{17^2} = \frac{240}{289} \] Теперь найдем \( b \): \[ b = \frac{8,5 \times \sin B}{\sin \alpha} \] Подставим значения: \[ b = \frac{8,5 \times \frac{240}{289}}{\frac{8}{17}} = 8,5 \times \frac{240}{289} \times \frac{17}{8} \] Упростим пошагово: \[ b = 8,5 \times \frac{240}{289} \times \frac{17}{8} \] Запишем \( 8,5 \) как \( \frac{17}{2} \): \[ b = \frac{17}{2} \times \frac{240}{289} \times \frac{17}{8} \] Перепишем произведение: \[ b = \frac{17}{2} \times \frac{17}{8} \times \frac{240}{289} \] Объединим числители и знаменатели: \[ b = \frac{17 \times 17 \times 240}{2 \times 8 \times 289} \] Упростим: \[ b = \frac{289 \times 240}{16 \times 289} \] \[ b = \frac{240}{16} = 15 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина стороны } AC = 15 } \] --- **Итог:** В треугольнике \( ABC \) с равными сторонами \( AB = BC = 8,5 \) и \(\tan A = \frac{8}{15}\), сторона \( AC \) равна **15**.