Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Нам дано:
[
t = 5x - 1
]
и нужно понять, какой интеграл соответствует выражению:
[
\int \frac{1}{5x - 1} , dx
]
после подстановки ( t = 5x - 1 ).
Шаг 1: Замена переменной
Пусть:
[
t = 5x - 1
]
Тогда дифференциал ( dt ) равен:
[
dt = 5 , dx
]
или:
[
dx = \frac{1}{5} dt
]
Шаг 2: Перепишем интеграл
Исходный интеграл:
[
\int \frac{1}{5x - 1} , dx
]
Подставим:
[
5x - 1 = t \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{1}{5} dt
]
Теперь интеграл превращается:
[
\int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{5} dt = \frac{1}{5} \int \frac{1}{t} dt
]
Шаг 3: Итоговое выражение
Интеграл (\int \frac{1}{t} dt) равен (\ln |t| + C), следовательно:
[
\frac{1}{5} \ln |t| + C
]
Вернёмся к переменной (x):
[
\boxed{
\frac{1}{5} \ln |5x - 1| + C
}
]
Итог
После подстановки, интеграл превращается в (\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} dt).
Ответ в виде выбора
Из предложенных вариантов:
- (\frac{1}{5} \int_t^1 dx)
- (\int_{t}^{1} dt)
- (\frac{1}{5} \int_t^1 dt)
- (5 \int_t^1 dt)
мы видим, что правильный ответ — (\frac{1}{5} \int_t^{1} dt) (или то, что интеграл по ( t ) с множителем (\frac{1}{5})).
Если у вас есть еще вопросы, буду рад помочь!
