В результате подстановки t=5x -1 интеграл

Давайте разберёмся с задачей по шагам.

Нам дано: \[ t = 5x - 1 \] и нужно понять, какой интеграл соответствует выражению: \[ \int \frac{1}{5x - 1} \, dx \] после подстановки \( t = 5x - 1 \).

Шаг 1: Замена переменной

Пусть: \[ t = 5x - 1 \] Тогда дифференциал \( dt \) равен: \[ dt = 5 \, dx \] или: \[ dx = \frac{1}{5} dt \]

Шаг 2: Перепишем интеграл

Исходный интеграл: \[ \int \frac{1}{5x - 1} \, dx \]

Подставим: \[ 5x - 1 = t \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{1}{5} dt \]

Теперь интеграл превращается: \[ \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{5} dt = \frac{1}{5} \int \frac{1}{t} dt \]

Шаг 3: Итоговое выражение

Интеграл \(\int \frac{1}{t} dt\) равен \(\ln |t| + C\), следовательно: \[ \frac{1}{5} \ln |t| + C \]

Вернёмся к переменной \(x\): \[ \boxed{ \frac{1}{5} \ln |5x - 1| + C } \]

Итог

После подстановки, интеграл превращается в \(\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} dt\).

Ответ в виде выбора

Из предложенных вариантов:

• \(\frac{1}{5} \int_t^1 dx\)
• \(\int_{t}^{1} dt\)
• \(\frac{1}{5} \int_t^1 dt\)
• \(5 \int_t^1 dt\)

мы видим, что правильный ответ — \(\frac{1}{5} \int_t^{1} dt\) (или то, что интеграл по \( t \) с множителем \(\frac{1}{5}\)).

Если у вас есть еще вопросы, буду рад помочь!