Расстояние между городами А и В равно 325 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 120 км/ч выехал мотоциклист, который догнал…
Расстояние между городами А и В равно 325 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 120 км/ч выехал мотоциклист, который догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Давайте подробно разберём задачу и найдём искомое расстояние от города А до города С.
Дано:
- Расстояние между городами А и В = 325 км.
- Автомобиль выехал из А в В и движется со скоростью \(v_a\) (её не указано).
- Мотоциклист выехал со скоростью 120 км/ч через 1 час после автомобиля.
- Мотоциклист догнал автомобиль в городе С, который расположен в пределах пути между А и В.
- После этого мотоциклист повернул обратно в А, а автомобиль доехал из А в В.
- Когда мотоциклист возвратился в А, автомобиль достиг В.
Нужно найти расстояние от А до С: \(x\) км.
Шаг 1: Обозначения и вводные данные
Обозначим:
- \(v_a\) — скорость автомобиля (не указано прямо, посмотрим, как это выяснить).
- Время, за которое автомобиль проедет расстояние \(d_{AC}\) (до города C): \(t_a = \frac{x}{v_a}\).
Мотоциклист:
- выезжает из А через 1 час (после машины).
- его скорость \(v_m = 120\) км/ч.
- догоняет автомобиль в городе C.
- после догоня, возвращается в А.
Шаг 2: Время движения автомобиля
Автомобиль движется весь времени \(T\), пока мотоциклист не догнал его.
Мотоциклист стартует через 1 час и догоняет автомобиль в точке C.
Пусть:
- время, за которое мотоциклист догнал автомобиль после своего старта — \(t_m\).
Тогда:
- автомобиль за это время прошёл: \(v_a \times (t_m + 1)\), так как он начал движение в момент времени 0 и прошёл за \(t_m + 1\) час.
- мотоциклист за это время прошёл: \(v_m \times t_m\).
Потому что мотоциклист догнал автомобиль в городе C, находящемся на пути.
Шаг 3: Уравнения для догоня
В момент догоня путь автомобиля равен пути мотоциклиста: \[ v_a \times (t_m + 1) = v_m \times t_m = 120 t_m \] Также, они оба находятся в городе C, расстояние от А до C равно \(x\), а \(v_a (t_m+1)\) равно этому расстоянию.
Итак: \[ x = v_a (t_m + 1) \] И также: \[ x = 120 t_m \]
Теперь из этих двух уравнений найдем \(x\) и \(t_m\).
Из второго: \[ t_m = \frac{x}{120} \] Подставим в первое: \[ x = v_a \left(\frac{x}{120} + 1\right) \] Раскроем скобки: \[ x = v_a \times \frac{x}{120} + v_a \] Перенесем все члены на одну сторону: \[ x - v_a \frac{x}{120} = v_a \] Выразим: \[ x \left(1 - \frac{v_a}{120}\right) = v_a \] Решим относительно \(x\): \[ x = \frac{v_a}{1 - \frac{v_a}{120}} = \frac{v_a}{\frac{120 - v_a}{120}} = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \]
Шаг 4: Условие, что автомобиль достиг В, когда мотоциклист вернулся в А
Когда мотоциклист возвращается в А, он прошёл расстояние \(x\) туда и обратно, то есть:
Общий путь мотоциклиста:
- туда — \(x\) км,
- обратно — \(x\) км, итого \(2x\) км.
Время, чтобы вернуться из C в А: \[ t_{return} = \frac{x}{120} \] так как скорость мотоциклиста 120 км/ч.
Общее время ухудшения мотоциклиста с момента старта:
- старт на \(t=1\) час после автомобиля,
- догон и возвращение: это занимает \(t_m + t_{return}\),
- при этом, автомобиль при возвращении мотоциклиста в А достиг В.
Общий промежуток времени — это время, за которое бежит автомобиль (от А до В). Пусть он приехал в В через время \(T\) после старта.
Автомобиль прибыл в В одновременно с возвращением мотоциклиста.
Значит, время, за которое автомобиль достиг В: \[ T = \frac{325}{v_a} \]
Мотоциклист стартовал через 1 час, и, чтобы вернуться в А после догоня, он затратил: \[ t_m + \frac{x}{120} \]
Общая логика:
- Время движения автомобиля от старта до В — \(T = \frac{325}{v_a}\).
- Мотоциклист стартовал через 1 час, догнал при времени \(t_m\) после старта (его), на этот момент прошло \(t_m\) часов.
- После догоня он возвращается в А, затрачивая \(\frac{x}{120}\) часа.
- Он возвращается в А одновременно с прибытием автомобиля в В, то есть:
\[ t_m + \frac{x}{120} = T - 1 \]
(Так как мотоциклист стартовал через 1 час, а в итоге он вернулся в А в тот же момент, когда автомобиль приехал в В).
Шаг 5: Подставляем и решаем для \(v_a\)
Значит:
\[ t_m + \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \]
Но мы из ранее получили, что:
\[ t_m = \frac{x}{120} \]
подставим: \[ \frac{x}{120} + \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \] или \[ 2 \times \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \]
Обозначим: \[ \frac{x}{60} = \frac{325}{v_a} - 1 \] Отсюда выразим \(v_a\): \[ \frac{325}{v_a} = \frac{x}{60} + 1 \] \[ v_a = \frac{325}{\frac{x}{60} + 1} \]
Но ранее нашли, что: \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \]
Подставим это выражение в уравнение для \(v_a\).
Шаг 6: Итоговая система уравнений и решение
Подставляем \(x\): \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \] в уравнение: \[ v_a = \frac{325}{\frac{x}{60} + 1} \]
или \[ v_a = \frac{325}{\frac{1}{60} \times \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} + 1} \]
Перепишем: \[ v_a = \frac{325}{\frac{v_a \times 120}{60(120 - v_a)} + 1} \]
Обратим выражение в знаменателе: \[ \frac{v_a \times 120}{60(120 - v_a)} + 1 = \frac{v_a \times 120 + 60(120 - v_a)}{60(120 - v_a)} \]
Раскроем числитель: \[ 120 v_a + 60 \times 120 - 60 v_a = 120 v_a + 7200 - 60 v_a = (120 v_a - 60 v_a) + 7200 = 60 v_a + 7200 \]
Итак, уравнение: \[ v_a = \frac{325}{\frac{60 v_a + 7200}{60 (120 - v_a)}} \]
Деление на дробь: \[ v_a = 325 \times \frac{60 (120 - v_a)}{60 v_a + 7200} \]
Сократим 60: \[ v_a = 325 \times \frac{120 - v_a}{v_a + 120} \]
Перенесём всё в одну сторону: \[ v_a (v_a + 120) = 325 (120 - v_a) \]
Раскроем скобки: \[ v_a^2 + 120 v_a = 325 \times 120 - 325 v_a \]
\[ v_a^2 + 120 v_a + 325 v_a = 325 \times 120 \]
\[ v_a^2 + (120 + 325) v_a = 39000 \]
\[ v_a^2 + 445 v_a = 39000 \]
Это квадратное уравнение: \[ v_a^2 + 445 v_a - 39000 = 0 \]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Дискриминант: \[ D = (445)^2 - 4 \times 1 \times (-39000) = 198025 + 156000 = 354025 \]
Корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} \approx \sqrt{354025} \approx 594.99 \]
Решения: \[ v_a = \frac{-445 \pm 594.99}{2} \]
Положительное решение: \[ v_a = \frac{-445 + 594.99}{2} \approx \frac{149.99}{2} \approx 75 \text{ км/ч} \]
Отрицательное — не подходит по смыслу.
Шаг 8: Находим расстояние \(x\)
Подставим \(v_a = 75\) в выражение для \(x\): \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} = \frac{75 \times 120}{120 - 75} = \frac{9000}{45} = 200 \text{ км} \]
Ответ:
Расстояние от А до С равно 200 км.
