Расстояние между городами А и В равно 325 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 120 км/ч выехал мотоциклист, который догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Давайте подробно разберём задачу и найдём искомое расстояние от города А до города С. **Дано:** - Расстояние между городами А и В = 325 км. - Автомобиль выехал из А в В и движется со скоростью \(v_a\) (её не указано). - Мотоциклист выехал со скоростью 120 км/ч через 1 час после автомобиля. - Мотоциклист догнал автомобиль в городе С, который расположен в пределах пути между А и В. - После этого мотоциклист повернул обратно в А, а автомобиль доехал из А в В. - Когда мотоциклист возвратился в А, автомобиль достиг В. Нужно найти расстояние от А до С: \(x\) км. --- ### Шаг 1: Обозначения и вводные данные Обозначим: - \(v_a\) — скорость автомобиля (не указано прямо, посмотрим, как это выяснить). - Время, за которое автомобиль проедет расстояние \(d_{AC}\) (до города C): \(t_a = \frac{x}{v_a}\). Мотоциклист: - выезжает из А через 1 час (после машины). - его скорость \(v_m = 120\) км/ч. - догоняет автомобиль в городе C. - после догоня, возвращается в А. --- ### Шаг 2: Время движения автомобиля Автомобиль движется весь времени \(T\), пока мотоциклист не догнал его. Мотоциклист стартует через 1 час и догоняет автомобиль в точке C. Пусть: - время, за которое мотоциклист догнал автомобиль после своего старта — \(t_m\). Тогда: - автомобиль за это время прошёл: \(v_a \times (t_m + 1)\), так как он начал движение в момент времени 0 и прошёл за \(t_m + 1\) час. - мотоциклист за это время прошёл: \(v_m \times t_m\). Потому что мотоциклист догнал автомобиль в городе C, находящемся на пути. --- ### Шаг 3: Уравнения для догоня В момент догоня путь автомобиля равен пути мотоциклиста: \[ v_a \times (t_m + 1) = v_m \times t_m = 120 t_m \] Также, они оба находятся в городе C, расстояние от А до C равно \(x\), а \(v_a (t_m+1)\) равно этому расстоянию. Итак: \[ x = v_a (t_m + 1) \] И также: \[ x = 120 t_m \] Теперь из этих двух уравнений найдем \(x\) и \(t_m\). Из второго: \[ t_m = \frac{x}{120} \] Подставим в первое: \[ x = v_a \left(\frac{x}{120} + 1\right) \] Раскроем скобки: \[ x = v_a \times \frac{x}{120} + v_a \] Перенесем все члены на одну сторону: \[ x - v_a \frac{x}{120} = v_a \] Выразим: \[ x \left(1 - \frac{v_a}{120}\right) = v_a \] Решим относительно \(x\): \[ x = \frac{v_a}{1 - \frac{v_a}{120}} = \frac{v_a}{\frac{120 - v_a}{120}} = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \] --- ### Шаг 4: Условие, что автомобиль достиг В, когда мотоциклист вернулся в А Когда мотоциклист возвращается в А, он прошёл расстояние \(x\) туда и обратно, то есть: Общий путь мотоциклиста: - туда — \(x\) км, - обратно — \(x\) км, итого \(2x\) км. Время, чтобы вернуться из C в А: \[ t_{return} = \frac{x}{120} \] так как скорость мотоциклиста 120 км/ч. Общее время ухудшения мотоциклиста с момента старта: - старт на \(t=1\) час после автомобиля, - догон и возвращение: это занимает \(t_m + t_{return}\), - при этом, автомобиль при возвращении мотоциклиста в А достиг В. Общий промежуток времени — это время, за которое бежит автомобиль (от А до В). Пусть он приехал в В через время \(T\) после старта. Автомобиль прибыл в В одновременно с возвращением мотоциклиста. Значит, время, за которое автомобиль достиг В: \[ T = \frac{325}{v_a} \] Мотоциклист стартовал через 1 час, и, чтобы вернуться в А после догоня, он затратил: \[ t_m + \frac{x}{120} \] Общая логика: - Время движения автомобиля от старта до В — \(T = \frac{325}{v_a}\). - Мотоциклист стартовал через 1 час, догнал при времени \(t_m\) после старта (его), на этот момент прошло \(t_m\) часов. - После догоня он возвращается в А, затрачивая \(\frac{x}{120}\) часа. - Он возвращается в А одновременно с прибытием автомобиля в В, то есть: \[ t_m + \frac{x}{120} = T - 1 \] (Так как мотоциклист стартовал через 1 час, а в итоге он вернулся в А в тот же момент, когда автомобиль приехал в В). --- ### Шаг 5: Подставляем и решаем для \(v_a\) Значит: \[ t_m + \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \] Но мы из ранее получили, что: \[ t_m = \frac{x}{120} \] подставим: \[ \frac{x}{120} + \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \] или \[ 2 \times \frac{x}{120} = \frac{325}{v_a} - 1 \] Обозначим: \[ \frac{x}{60} = \frac{325}{v_a} - 1 \] Отсюда выразим \(v_a\): \[ \frac{325}{v_a} = \frac{x}{60} + 1 \] \[ v_a = \frac{325}{\frac{x}{60} + 1} \] Но ранее нашли, что: \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \] Подставим это выражение в уравнение для \(v_a\). --- ### Шаг 6: Итоговая система уравнений и решение Подставляем \(x\): \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} \] в уравнение: \[ v_a = \frac{325}{\frac{x}{60} + 1} \] или \[ v_a = \frac{325}{\frac{1}{60} \times \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} + 1} \] Перепишем: \[ v_a = \frac{325}{\frac{v_a \times 120}{60(120 - v_a)} + 1} \] Обратим выражение в знаменателе: \[ \frac{v_a \times 120}{60(120 - v_a)} + 1 = \frac{v_a \times 120 + 60(120 - v_a)}{60(120 - v_a)} \] Раскроем числитель: \[ 120 v_a + 60 \times 120 - 60 v_a = 120 v_a + 7200 - 60 v_a = (120 v_a - 60 v_a) + 7200 = 60 v_a + 7200 \] Итак, уравнение: \[ v_a = \frac{325}{\frac{60 v_a + 7200}{60 (120 - v_a)}} \] Деление на дробь: \[ v_a = 325 \times \frac{60 (120 - v_a)}{60 v_a + 7200} \] Сократим 60: \[ v_a = 325 \times \frac{120 - v_a}{v_a + 120} \] Перенесём всё в одну сторону: \[ v_a (v_a + 120) = 325 (120 - v_a) \] Раскроем скобки: \[ v_a^2 + 120 v_a = 325 \times 120 - 325 v_a \] \[ v_a^2 + 120 v_a + 325 v_a = 325 \times 120 \] \[ v_a^2 + (120 + 325) v_a = 39000 \] \[ v_a^2 + 445 v_a = 39000 \] Это квадратное уравнение: \[ v_a^2 + 445 v_a - 39000 = 0 \] --- ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Дискриминант: \[ D = (445)^2 - 4 \times 1 \times (-39000) = 198025 + 156000 = 354025 \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} \approx \sqrt{354025} \approx 594.99 \] Решения: \[ v_a = \frac{-445 \pm 594.99}{2} \] Положительное решение: \[ v_a = \frac{-445 + 594.99}{2} \approx \frac{149.99}{2} \approx 75 \text{ км/ч} \] Отрицательное — не подходит по смыслу. --- ### **Шаг 8: Находим расстояние \(x\)** Подставим \(v_a = 75\) в выражение для \(x\): \[ x = \frac{v_a \times 120}{120 - v_a} = \frac{75 \times 120}{120 - 75} = \frac{9000}{45} = 200 \text{ км} \] --- ### **Ответ:** **Расстояние от А до С равно 200 км.**