y=root(3,(x-1)^5)+5/(2x^2-4x+7) найти производную

Конечно! Давайте подробно найдем производную функции:

\[ y = \sqrt[3]{(x - 1)^5} + \frac{5}{2x^2 - 4x + 7} \]

Шаг 1. Перепишем функцию для удобства:

\[ y = \left[(x - 1)^5\right]^{1/3} + \frac{5}{2x^2 - 4x + 7} \]

Шаг 2. Упростим первую часть, используя правило степени:

\[ y = \left( (x - 1)^5 \right)^{1/3} = (x - 1)^{5/3} \]

Теперь функция выглядит так:

\[ y = (x - 1)^{5/3} + \frac{5}{2x^2 - 4x + 7} \]

Шаг 3. Найдём производную первого слагаемого.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

\[ \frac{d}{dx} (x - 1)^{5/3} = \frac{5}{3} (x - 1)^{(5/3)-1} \times \frac{d}{dx}(x - 1) \]

Поскольку \(\frac{d}{dx}(x - 1) = 1\), получаем:

\[ \frac{d}{dx} (x - 1)^{5/3} = \frac{5}{3} (x - 1)^{2/3} \]

Шаг 4. Найдём производную второго слагаемого \(\frac{5}{2x^2 - 4x + 7}\).

Это рациональная функция, применим правило дифференцирования:

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{A}{f(x)}\right) = -A \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \]

где \(A=5\) и \(f(x) = 2x^2 - 4x + 7\).

Первым делом найдём \(f'(x)\):

\[ f'(x) = 4x - 4 \]

Теперь дифференцируем:

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{f(x)}\right) = -5 \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} = -5 \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 7)^2} \]

Шаг 5. Итоговая производная:

\[ \boxed{ y' = \frac{5}{3} (x - 1)^{2/3} - 5 \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 7)^2} } \]

Это и есть искомая производная функции.

Если нужно — могу помочь с более упрощённой формой или объяснить подробнее каждый шаг!