Дан треугольник АВС. АС = 34,2 см; ∠B = 30°; ∠C= 45°. Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.) Ответ: АВ 2 Б. CM. V

Давайте решим задачу по шагам. Дано: - \( AC = 34{,}2\, \text{см} \) - \( \angle B = 30^\circ \) - \( \angle C= 45^\circ \) Нужно найти сторону \( AB \). --- ### Шаг 1: Найти третий угол треугольника Общая сумма углов треугольника равна 180°. Значит, \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \] ## Шаг 2: Использовать закон синусов Закон синусов гласит: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} \] Нам нужно найти \( AB \): \[ AB = \frac{\sin C \times AC}{\sin A} \] Подставляем известные значения: \[ AB = \frac{\sin 45^\circ \times 34{,}2}{\sin 105^\circ} \] ### Шаг 3: Вычислить синусы углов \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ \] Аналогично, \[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] Подставим: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Тогда: \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] --- ### Шаг 4: Подставить вычисленные значения и упростить \[ AB = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \times 34{,}2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Упростим числитель: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \times 34{,}2 = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значит, \[ AB = \frac{34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Деление на дробь — умножение на обратную: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Упростим: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2} \times 4}{2 \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = 34{,}2 \times \frac{4 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})} \] Сократим: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] --- ### Шаг 5: Привести к более простому виду Рассмотрим выражение: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Чтобы упростить делитель, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \sqrt{6} - \sqrt{2} \] Тогда: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \] Знаменатель — разность квадратов: \[ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4 \] А числитель — раскрыть скобки: \[ 2 \sqrt{2} \times (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} \] Преобразуем каждое: \[ 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6} = 2 \times \sqrt{2 \times 6} = 2 \times \sqrt{12} = 2 \times 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \] \[ 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{2 \times 2} = 2 \times 2 = 4 \] Итог: \[ 4 \sqrt{3} - 4 \] Теперь подставляем обратно: \[ AB = 34{,}2 \times \frac{4 \sqrt{3} - 4}{4} \] Сократим на 4: \[ AB = 34{,}2 \times (\sqrt{3} - 1) \] ### Итог: **Ответ:** \[ \boxed{AB = 34{,}2 (\sqrt{3} - 1)} \] Это выражение в упрощённом виде, приближённо: \[ AB \approx 34{,}2 \times (1.732 - 1) = 34{,}2 \times 0.732 \approx 25.07\, \text{см} \] Но в условии было указано — "упростить до наименьшего натурального числа под знаком корня". В данном случае, окончательный ответ — это именно то выражение в виде: \[ \boxed{AB = 34{,}2 (\sqrt{3} - 1)} \] --- Если требуется, можно оставить ответ именно так или округлить, но по условию — оставить в виде с корнем.