Дан треугольник АВС. АС = 34,2 см; ∠B = 30°; ∠C= 45°. Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.) Ответ: АВ 2 Б. CM. V
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- \( AC = 34{,}2\, \text{см} \)
- \( \angle B = 30^\circ \)
- \( \angle C= 45^\circ \)
Нужно найти сторону \( AB \).
Шаг 1: Найти третий угол треугольника
Общая сумма углов треугольника равна 180°.
Значит,
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ
\]
Шаг 2: Использовать закон синусов
Закон синусов гласит:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} \]
Нам нужно найти \( AB \):
\[ AB = \frac{\sin C \times AC}{\sin A} \]
Подставляем известные значения:
\[ AB = \frac{\sin 45^\circ \times 34{,}2}{\sin 105^\circ} \]
Шаг 3: Вычислить синусы углов
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ \]
Аналогично,
\[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]
Подставим:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Тогда:
\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Шаг 4: Подставить вычисленные значения и упростить
\[ AB = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \times 34{,}2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
Упростим числитель:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \times 34{,}2 = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Значит,
\[ AB = \frac{34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
Деление на дробь — умножение на обратную:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
Упростим:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{\sqrt{2} \times 4}{2 \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = 34{,}2 \times \frac{4 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]
Сократим:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
Шаг 5: Привести к более простому виду
Рассмотрим выражение:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
Чтобы упростить делитель, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
\[ \sqrt{6} - \sqrt{2} \]
Тогда:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \]
Знаменатель — разность квадратов:
\[ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4 \]
А числитель — раскрыть скобки:
\[ 2 \sqrt{2} \times (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} \]
Преобразуем каждое:
\[ 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6} = 2 \times \sqrt{2 \times 6} = 2 \times \sqrt{12} = 2 \times 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \] \[ 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{2 \times 2} = 2 \times 2 = 4 \]
Итог:
\[ 4 \sqrt{3} - 4 \]
Теперь подставляем обратно:
\[ AB = 34{,}2 \times \frac{4 \sqrt{3} - 4}{4} \]
Сократим на 4:
\[ AB = 34{,}2 \times (\sqrt{3} - 1) \]
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{AB = 34{,}2 (\sqrt{3} - 1)} \]
Это выражение в упрощённом виде, приближённо:
\[ AB \approx 34{,}2 \times (1.732 - 1) = 34{,}2 \times 0.732 \approx 25.07\, \text{см} \]
Но в условии было указано — "упростить до наименьшего натурального числа под знаком корня". В данном случае, окончательный ответ — это именно то выражение в виде:
\[ \boxed{AB = 34{,}2 (\sqrt{3} - 1)} \]
Если требуется, можно оставить ответ именно так или округлить, но по условию — оставить в виде с корнем.
