решите систему неравенств 0<3+2х<1; 6х+11<8
Рассмотрим задачу: решить систему неравенств:
\( 0 < 3 + 2x < 1 \)
\( 6x + 11 < 8 \)
Шаг 1: Решение первого неравенства \( 0 < 3 + 2x < 1 \)
Это двойное неравенство, его можно разбить на два:
a) \( 0 < 3 + 2x \)
b) \( 3 + 2x < 1 \)
Разбираем первое:
\[ 0 < 3 + 2x \]
Вычитаем 3 из обеих частей:
\[ 0 - 3 < 2x \] \[ -3 < 2x \]
Делим обе части на 2 (так как 2 > 0, знак не меняется):
\[ \frac{-3}{2} < x \] или \[ x > -\frac{3}{2} \]
Разбираем второе:
\[ 3 + 2x < 1 \]
Вычитаем 3:
\[ 2x < 1 - 3 \] \[ 2x < -2 \]
Делим на 2:
\[ x < -1 \]
Область решений по первому неравенству:
\[ x > -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x < -1 \]
Взаимное пересечение:
\[ x \in \left( -\frac{3}{2}, -1 \right) \]
Шаг 2: Решение второго неравенства \( 6x + 11 < 8 \)
Вычитаем 11:
\[ 6x < 8 - 11 \] \[ 6x < -3 \]
Делим обе части на 6 (так как 6 > 0, знак не меняется):
\[ x < -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \]
Шаг 3: Объединение решений
Из первого неравенства:
\[ x \in \left( -\frac{3}{2}, -1 \right) \]
Из второго:
\[ x < -\frac{1}{2} \]
Объединяем: необходимо также, чтобы \( x \) было меньше \( -\frac{1}{2} \).
Но \( \left( -\frac{3}{2}, -1 \right) \) — интервал слева от \(-\frac{3}{2}\) до \(-1\).
Обратите внимание: весь интервал \(\left( -\frac{3}{2}, -1 \right)\) уже лежит слева от \(-\frac{1}{2}\). Проверим, что каждое число из этого интервала действительно меньше \(-\frac{1}{2}\).
Значения в интервале \(\left( -\frac{3}{2}, -1 \right)\):
\(-\frac{3}{2} \approx -1.5\)
\(-1\)
Все эти числа — меньше \(-\frac{1}{2}\), так как:
\[ -1.5 < -0.5 \] \[ -1 < -0.5 \]
Следовательно, весь интервал \(\left( -\frac{3}{2}, -1 \right)\) входит в множество решений второй неравенства.
Итак, окончательное решение:
\[ \boxed{ x \in \left( -\frac{3}{2}, -1 \right) } \]
Итог
Ответ: Решение системы — все \( x \) такие, что
\[ \boxed{ x \in \left( -\frac{3}{2}, -1 \right) } \]
