На расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения, радиусы которых относятся как 6:5. Найдите радиус шара.
Рассмотрим задачу: на расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения. Радиусы этих сечений относятся как 6:5. Нужно найти радиус шара.
Обозначим:
- радиус шара \( R \),
- радиусы сечений \( r_1 \) и \( r_2 \),
- расстояния от центра до сечений \( d_1 = 7 \), \( d_2 = 15 \).
По условию, радиусы сечений связаны соответственно как 6:5:
\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{5} \]
Шаг 1: Связь между радиусами сечений и радиусом шара
Плоскости, параллельные основанию шара, пересекают его в окружностях радиусов \( r \), связанные с радиусом шара \( R \) как:
\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \]
где \( d \) — расстояние от центра до данной плоскости.
Значит:
\[ r_1 = \sqrt{R^2 - d_1^2} = \sqrt{R^2 - 7^2} = \sqrt{R^2 - 49} \]
\[ r_2 = \sqrt{R^2 - d_2^2} = \sqrt{R^2 - 15^2} = \sqrt{R^2 - 225} \]
Шаг 2: Используем отношение радиусов
По условию:
\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{5} \]
Подставим выражения для радиусов:
\[ \frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5} \]
Шаг 3: Возводим обе части уравнения в квадрат
\[ \frac{R^2 - 49}{R^2 - 225} = \frac{36}{25} \]
Шаг 4: Решаем уравнение
Переносим правую часть:
\[ 25(R^2 - 49) = 36(R^2 - 225) \]
Раскроем скобки:
\[ 25 R^2 - 25 \times 49 = 36 R^2 - 36 \times 225 \]
Вычислим:
\[ 25 R^2 - 1225 = 36 R^2 - 8100 \]
Переносим все в левую сторону:
\[ 25 R^2 - 1225 - 36 R^2 + 8100 = 0 \]
Объединим похожие слагаемые:
\[ (25 R^2 - 36 R^2) + (-1225 + 8100) = 0 \]
\[ -11 R^2 + 6875 = 0 \]
Шаг 5: Находим \( R^2 \)
\[ -11 R^2 = -6875 \]
\[ R^2 = \frac{6875}{11} \]
Вычислим:
\[ R^2 \approx 625 \]
Следовательно,
\[ R \approx \sqrt{625} = 25 \]
Ответ:
Радиус шара равен 25.
