Рассмотрим задачу: на расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения. Радиусы этих сечений относятся как 6:5. Нужно найти радиус шара.
Обозначим:
- радиус шара ( R ),
- радиусы сечений ( r_1 ) и ( r_2 ),
- расстояния от центра до сечений ( d_1 = 7 ), ( d_2 = 15 ).
По условию, радиусы сечений связаны соответственно как 6:5:
[
\frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{5}
]
Шаг 1: Связь между радиусами сечений и радиусом шара
Плоскости, параллельные основанию шара, пересекают его в окружностях радиусов ( r ), связанные с радиусом шара ( R ) как:
[
r = \sqrt{R^2 - d^2}
]
где ( d ) — расстояние от центра до данной плоскости.
Значит:
[
r_1 = \sqrt{R^2 - d_1^2} = \sqrt{R^2 - 7^2} = \sqrt{R^2 - 49}
]
[
r_2 = \sqrt{R^2 - d_2^2} = \sqrt{R^2 - 15^2} = \sqrt{R^2 - 225}
]
Шаг 2: Используем отношение радиусов
По условию:
[
\frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{5}
]
Подставим выражения для радиусов:
[
\frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5}
]
Шаг 3: Возводим обе части уравнения в квадрат
[
\frac{R^2 - 49}{R^2 - 225} = \frac{36}{25}
]
Шаг 4: Решаем уравнение
Переносим правую часть:
[
25(R^2 - 49) = 36(R^2 - 225)
]
Раскроем скобки:
[
25 R^2 - 25 \times 49 = 36 R^2 - 36 \times 225
]
Вычислим:
[
25 R^2 - 1225 = 36 R^2 - 8100
]
Переносим все в левую сторону:
[
25 R^2 - 1225 - 36 R^2 + 8100 = 0
]
Объединим похожие слагаемые:
[
(25 R^2 - 36 R^2) + (-1225 + 8100) = 0
]
[
-11 R^2 + 6875 = 0
]
Шаг 5: Находим ( R^2 )
[
-11 R^2 = -6875
]
[
R^2 = \frac{6875}{11}
]
Вычислим:
[
R^2 \approx 625
]
Следовательно,
[
R \approx \sqrt{625} = 25
]
Ответ:
Радиус шара равен 25.
