Давайте решим задачу пошагово.
Дана:
- Одна сторона параллелограмма ( a = 21 )
- Другая сторона ( b = 16 )
- Косинус одного из углов ( \cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{7} )
Найти: площадь параллелограмма ( S ).
Шаг 1: Формула площади параллелограмма
Площадь можно найти по формуле, использующей две соседние стороны и угол между ними:
[
S = a \times b \times \sin \theta
]
где
- ( a, b ) — стороны,
- ( \theta ) — угол между ними.
Нам нужно найти ( \sin \theta ).
Шаг 2: Найдём ( \sin \theta )
Используем тригегонометрическую тождество:
[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
]
Подставляем значение (\cos \theta):
[
\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{\sqrt{13}}{7} \right)^2
]
Посчитаем (\cos^2 \theta):
[
\left( \frac{\sqrt{13}}{7} \right)^2 = \frac{13}{49}
]
Тогда:
[
\sin^2 \theta = 1 - \frac{13}{49} = \frac{49}{49} - \frac{13}{49} = \frac{36}{49}
]
Следовательно:
[
\sin \theta = \pm \frac{6}{7}
]
Так как площадь положительна, возьмем положительный корень:
[
\sin \theta = \frac{6}{7}
]
Шаг 3: Вычисляем площадь
Теперь по формуле:
[
S = a \times b \times \sin \theta = 21 \times 16 \times \frac{6}{7}
]
Посчитаем:
- Упростим выражение, сократив 21 и 7:
[
21 \div 7 = 3
]
Тогда:
[
S = 3 \times 16 \times 6
]
- Перемножим:
[
3 \times 16 = 48
]
и далее:
[
48 \times 6 = 288
]
Ответ:
[
\boxed{ S = 288 }
]
Площадь параллелограмма равна 288 квадратных единиц.
