Рассмотрим задачу подробнее.
Пусть загаданное число равно (x).
Из условия задачи:
"Если моё число разделить на 13, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное"
Обозначим:
- частное при делении (x) на 13 как (q),
- остаток как (r).
Тогда:
[
x = 13q + r
]
По условию:
[
r = \frac{1}{2} q
]
Также известно, что при делении (x) на 13:
[
x = 13q + r
]
и
[
0 \leq r < 13
]
Замещая (r) в уравнение:
[
x = 13q + \frac{1}{2}q = q \left(13 + \frac{1}{2}\right) = q \times \frac{27}{2}
]
Следовательно:
[
x = \frac{27}{2} q
]
Поскольку (x) — целое число, то (q) должно быть чётным (чтобы делитель (\frac{27}{2}) давал целое число). Обозначим:
[
q = 2k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}
]
Тогда:
[
x = \frac{27}{2} \times 2k = 27k
]
Значит, искомое число — это число, делящееся на 27:
[
x = 27k
]
Дано, что:
[
170 < x < 200
]
Подставляя (x = 27k):
[
170 < 27k < 200
]
Делим неравенства на 27:
[
\frac{170}{27} < k < \frac{200}{27}
]
Вычисляем:
[
\frac{170}{27} \approx 6.296... \
\frac{200}{27} \approx 7.407...
]
Значит, (k) — целое число, лежащее в интервале:
[
6.296... < k < 7.407...
]
Следовательно, (k = 7).
Подставляем обратно для проверки:
[
x = 27 \times 7 = 189
]
Проверим условия:
- Делим (189) на 13:
[
189 \div 13 = 14 \text{ с остатком } r
]
Находим остаток:
[
13 \times 14 = 182 \
189 - 182 = 7
]
Частное:
[
q = 14
]
Остаток:
[
r=7
]
Проверка условия:
[
r = \frac{1}{2} q \Rightarrow 7 = \frac{1}{2} \times 14 \quad \text{верно}
]
Итак, число, которое загадала Вика, равно 189.
Ответ: (\boxed{189})
