Вика загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 13, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Вика, если известно, что загаданное число…

Рассмотрим задачу подробнее.

Пусть загаданное число равно \(x\).

Из условия задачи:

"Если моё число разделить на 13, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное"

Обозначим:

• частное при делении \(x\) на 13 как \(q\),
• остаток как \(r\).

Тогда: \[ x = 13q + r \]

По условию: \[ r = \frac{1}{2} q \]

Также известно, что при делении \(x\) на 13: \[ x = 13q + r \] и \[ 0 \leq r < 13 \]

Замещая \(r\) в уравнение: \[ x = 13q + \frac{1}{2}q = q \left(13 + \frac{1}{2}\right) = q \times \frac{27}{2} \]

Следовательно: \[ x = \frac{27}{2} q \]

Поскольку \(x\) — целое число, то \(q\) должно быть чётным (чтобы делитель \(\frac{27}{2}\) давал целое число). Обозначим: \[ q = 2k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \]

Тогда: \[ x = \frac{27}{2} \times 2k = 27k \]

Значит, искомое число — это число, делящееся на 27: \[ x = 27k \]

Дано, что: \[ 170 < x < 200 \]

Подставляя \(x = 27k\): \[ 170 < 27k < 200 \]

Делим неравенства на 27: \[ \frac{170}{27} < k < \frac{200}{27} \]

Вычисляем: \[ \frac{170}{27} \approx 6.296... \\ \frac{200}{27} \approx 7.407... \]

Значит, \(k\) — целое число, лежащее в интервале: \[ 6.296... < k < 7.407... \]

Следовательно, \(k = 7\).

Подставляем обратно для проверки: \[ x = 27 \times 7 = 189 \]

Проверим условия:

• Делим \(189\) на 13: \[ 189 \div 13 = 14 \text{ с остатком } r \]

Находим остаток: \[ 13 \times 14 = 182 \\ 189 - 182 = 7 \]

Частное: \[ q = 14 \] Остаток: \[ r=7 \]

Проверка условия: \[ r = \frac{1}{2} q \Rightarrow 7 = \frac{1}{2} \times 14 \quad \text{верно} \]

Итак, число, которое загадала Вика, равно 189.

Ответ: \(\boxed{189}\)