Конечно! Давайте подробно разберем задачу по нахождению производной функции
[ y = x^6 + 2x + \sqrt{x} ]
Я объясню каждое действие по шагам, включая формулы и правила дифференцирования.
Шаг 1: Запись функции для дифференцирования
[ y = x^6 + 2x + \sqrt{x} ]
Здесь три слагаемых: (x^6), (2x), и (\sqrt{x}).
Шаг 2: Правила дифференцирования, которые применимы
Производная степенной функции:
(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1})
Производная константы, умноженной на функцию:
(\frac{d}{dx} [c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x))
Производная корня из x:
(\sqrt{x} = x^{1/2}), и дифференцируется как степенная функция.
Шаг 3: Дифференцируем каждое слагаемое отдельно
- Для первого слагаемого (x^6):
[ \frac{d}{dx} x^6 = 6x^{6-1} = 6x^5 ]
- Для второго слагаемого (2x):
[ \frac{d}{dx} 2x = 2 ]
(поскольку производная (x) равна 1, а тут есть множитель 2)
- Для третьего слагаемого (\sqrt{x} = x^{1/2}):
[ \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} ]
или, что тоже можно записать как:
[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]
Шаг 4: Итоговая формула для производной
Объединим полученные части:
[
\boxed{
\frac{dy}{dx} = 6x^5 + 2 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
}
]
Итог:
Производная функции
[
\boxed{
y' = 6x^5 + 2 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
}
]
Если есть вопросы по какому-либо шагу или нужен другой вид объяснения — скажите!
