производные обьясни поэтапно решение с формулами y = x⁶ + вод x ×2 x + корень х
Конечно! Давайте подробно разберем задачу по нахождению производной функции
\[ y = x^6 + 2x + \sqrt{x} \]
Я объясню каждое действие по шагам, включая формулы и правила дифференцирования.
Шаг 1: Запись функции для дифференцирования
\[ y = x^6 + 2x + \sqrt{x} \]
Здесь три слагаемых: \(x^6\), \(2x\), и \(\sqrt{x}\).
Шаг 2: Правила дифференцирования, которые применимы
Производная степенной функции:
\(\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\)Производная константы, умноженной на функцию:
\(\frac{d}{dx} [c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)\)Производная корня из x:
\(\sqrt{x} = x^{1/2}\), и дифференцируется как степенная функция.
Шаг 3: Дифференцируем каждое слагаемое отдельно
- Для первого слагаемого \(x^6\):
\[ \frac{d}{dx} x^6 = 6x^{6-1} = 6x^5 \]
- Для второго слагаемого \(2x\):
\[ \frac{d}{dx} 2x = 2 \]
(поскольку производная \(x\) равна 1, а тут есть множитель 2)
- Для третьего слагаемого \(\sqrt{x} = x^{1/2}\):
\[ \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} \]
или, что тоже можно записать как:
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Шаг 4: Итоговая формула для производной
Объединим полученные части:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 6x^5 + 2 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} } \]
Итог:
Производная функции
\[ \boxed{ y' = 6x^5 + 2 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} } \]
Если есть вопросы по какому-либо шагу или нужен другой вид объяснения — скажите!
