Рассчитайте через сколько времени упадет на землю мяч, запущенный вертикально вверх от земли с начальной скоростью 25 м/с.

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждое действие. **Дано:** - Начальная скорость мяча \( v_0 = 25\, \text{м/с} \) - Начальная позиция (земля) \( y_0 = 0 \) - Ускорение свободного падения \( g = 9{,}8\, \text{м/с}^2 \) (вниз, положим вниз — положительная ось) **Цель:** Найти время \( T \), через которое мяч упадет обратно на землю. --- ### 1. Постоянное ускорение и его знак Поскольку мяч запущен вверх, вначале он будет двигаться вверх, затем остановится, начнет падать вниз и в конечном итоге упадет на землю. При этом ускорение свободного падения действует вниз, то есть в нашем случае: \[ a = g = 9{,}8\, \text{м/с}^2 \] Поскольку вверх — положительная ось, то при движении вверх скорость уменьшается, а при падении — увеличивается в отрицательном направлении. --- ### 2. Время достижения максимальной высоты На максимальной высоте скорость становится равна нулю: \[ v = v_0 - g t_{\text{up}} \] где \( t_{\text{up}} \) — время подъема до вершины. Решим уравнение для \( t_{\text{up}} \): \[ 0 = v_0 - g t_{\text{up}} \implies t_{\text{up}} = \frac{v_0}{g} = \frac{25}{9{,}8} \approx 2,55\, \text{с} \] Это время, за которое мяч достигнет самой высокой точки. --- ### 3. Высота на максимальной точке Найдем высоту, которую достигнет мяч: \[ h_{\text{max}} = v_0 t_{\text{up}} - \frac{1}{2} g t_{\text{up}}^2 \] Подставим значения: \[ h_{\text{max}} = 25 \times 2,55 - 0,5 \times 9,8 \times (2,55)^2 \] Вычислим: \[ 25 \times 2,55 \approx 63,75\, \text{м} \] \[ 0,5 \times 9,8 \times 6,50 \approx 31,87\, \text{м} \] Следовательно: \[ h_{\text{max}} \approx 63,75 - 31,87 = 31,88\, \text{м} \] --- ### 4. Время падения с высоты \( h_{\text{max}} \) Мяч падает со вершины обратно на землю, пройдя путь высотой \( h_{\text{max}} \). Время падения из этого подъема, причём тут стартовая точка — высота \( h_{\text{max}} \), а конечная — земля, можно найти по уравнению движения с начальной скоростью 0 (подъем закончился, скорость на вершине равна 0): \[ h = \frac{1}{2} g t_{\text{fall}}^2 \] где \( h = h_{\text{max}} \), и \( t_{\text{fall}} \) — время падения. Решим для \( t_{\text{fall}} \): \[ t_{\text{fall}} = \sqrt{\frac{2 h_{\text{max}}}{g}} \] Подставляем числа: \[ t_{\text{fall}} = \sqrt{\frac{2 \times 31,88}{9,8}} = \sqrt{\frac{63,76}{9,8}} \approx \sqrt{6,51} \approx 2,55\, \text{с} \] — совпадает по времени с подъёмом, что логично. --- ### 5. Общее время полёта Поскольку мяч возвращается на землю после полного подъема и падения, суммарное время равно: \[ T = t_{\text{up}} + t_{\text{fall}} \approx 2,55 + 2,55 = 5,10\, \text{с} \] --- ## Итог: **Мяч упадет на землю примерно через \(\boxed{5{,}1\, \text{секунд}}\)** после запуска. Если нужно более приблизительное или точное значение, можно оставить до двух знаков после запятой — 5,10 сек.