Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Начальная длина волны, на которую настроен радиоприемник: (\lambda_1 = 300,м)
- Начальная емкость контура: (C_1 = 200,мкФ = 200 \times 10^{-6},Ф)
- Новая емкость: (C_2 = 800,мкФ = 800 \times 10^{-6},Ф)
**Нам нужно найти новую длину волны (\lambda_2), при которой настроится радиоприемник после изменения емкости.
Основные формулы
В резонансной цепи с обкладками и индуктивностью (L) отношение длины волны (\lambda) и параметры контура связаны с формулой
[
\lambda = \frac{v}{f}
]
где:
- (v) — скорость распространения электромагнитной волны (для радиоволн на воздухе примерно равна скорости света (c \approx 3, \times 10^8, м/с))
- (f) — частота, резонансная для цепи
Резонанс частоты для колебательного контура
[
f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
]
Поскольку скорость распространения волны постоянна, зависимость длины волны от емкости и индуктивности связана через частоту:
[
\lambda = \frac{v}{f} = v \times 2\pi \sqrt{LC}
]
Поскольку (v) и (L) не меняются, то
[
\lambda \propto \sqrt{C}
]
То есть, длина волны зависит от квадратичного корня из емкости.
Шаг 1: Находим пропорцию
[
\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}
]
Подставляем значения:
[
\frac{\lambda_2}{300,м} = \sqrt{\frac{800 \times 10^{-6}}{200 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2
]
Шаг 2: Вычисляем (\lambda_2)
[
\lambda_2 = 2 \times 300,м = 600,м
]
Ответ:
При увеличении емкости контура до 800 мкФ, длина волны, на которую настроен радиоприемник, будет равна 600 метров.
