Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти стороны прямоугольника при заданных периметре и площади.
Дано:
- Периметр прямоугольника ( P = 20 ) см
- Площадь прямоугольника ( S = 24 ) см²
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Шаг 1. Запишем известные формулы
Периметр:
[
P = 2(a + b)
]
Подставим значение ( P = 20 ):
[
2(a + b) = 20
]
Делим обе части на 2:
[
a + b = 10
]
Это первое уравнение.
Площадь:
[
S = a \times b
]
Подставим значение ( S = 24 ):
[
a \times b = 24
]
Это второе уравнение.
Шаг 2. Выразим одну сторону через другую
Из первого уравнения:
[
b = 10 - a
]
Подставим ( b ) в уравнение площади:
[
a \times (10 - a) = 24
]
Раскроем скобки:
[
a \times 10 - a^2 = 24
]
или
[
10a - a^2 = 24
]
Перенесём все слагаемые в левую сторону:
[
-a^2 + 10a - 24 = 0
]
Упростим уравнение, умножив обе части на (-1):
[
a^2 - 10a + 24 = 0
]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
Квадратное уравнение:
[
a^2 - 10a + 24 = 0
]
Используем формулу корней:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -10 ), ( c = 24 ).
Подставим:
[
a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times 24}}{2 \times 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2}
]
[
a = \frac{10 \pm 2}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- (\displaystyle a = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6)
- (\displaystyle a = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4)
Шаг 4. Найдём соответствующие значения (b)
Для каждого значения (a):
- Если (a = 6), тогда (b = 10 - a = 10 - 6 = 4).
- Если (a = 4), тогда (b = 10 - 4 = 6).
Обратите внимание, стороны прямоугольника — это либо 4 и 6 см, либо 6 и 4 см. Они взаимно заменяемы, так как речь идет о сторонах.
Ответ:
Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.
Если есть вопросы или нужна более подробная разборка — обращайтесь!
