Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см?.
Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти стороны прямоугольника при заданных периметре и площади.
Дано:
- Периметр прямоугольника \( P = 20 \) см
- Площадь прямоугольника \( S = 24 \) см²
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Шаг 1. Запишем известные формулы
Периметр: \[ P = 2(a + b) \] Подставим значение \( P = 20 \): \[ 2(a + b) = 20 \] Делим обе части на 2: \[ a + b = 10 \] Это первое уравнение.
Площадь: \[ S = a \times b \] Подставим значение \( S = 24 \): \[ a \times b = 24 \] Это второе уравнение.
Шаг 2. Выразим одну сторону через другую
Из первого уравнения: \[ b = 10 - a \]
Подставим \( b \) в уравнение площади: \[ a \times (10 - a) = 24 \]
Раскроем скобки: \[ a \times 10 - a^2 = 24 \] или \[ 10a - a^2 = 24 \]
Перенесём все слагаемые в левую сторону: \[ -a^2 + 10a - 24 = 0 \]
Упростим уравнение, умножив обе части на \(-1\): \[ a^2 - 10a + 24 = 0 \]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
Квадратное уравнение: \[ a^2 - 10a + 24 = 0 \]
Используем формулу корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = 24 \).
Подставим: \[ a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times 24}}{2 \times 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \]
\[ a = \frac{10 \pm 2}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \(\displaystyle a = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(\displaystyle a = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Шаг 4. Найдём соответствующие значения \(b\)
Для каждого значения \(a\):
- Если \(a = 6\), тогда \(b = 10 - a = 10 - 6 = 4\).
- Если \(a = 4\), тогда \(b = 10 - 4 = 6\).
Обратите внимание, стороны прямоугольника — это либо 4 и 6 см, либо 6 и 4 см. Они взаимно заменяемы, так как речь идет о сторонах.
Ответ:
Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.
Если есть вопросы или нужна более подробная разборка — обращайтесь!
