Задание 22 Сообщить об ошибке 22. Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях m m прямая y = m…

Давайте разберём задачу пошагово.

Задача: Построить график функции
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции.

---

Шаг 1. Построение графика функции

Функция задана как кусочно-заданная:

• Для \( x \geq -2 \): \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) — это парабола, ветви вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( 2 > 0 \)).
• Для \( x < -2 \): \( y = x + 2 \) — это прямая.

---

Шаг 2. Анализ части для \( x \geq -2 \)

Найдём вершину параболы:
Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x_{верш} = -\frac{b}{2a} \).

Значения:
\[ a = 2, \quad b = 6, \quad c = 3. \]

Тогда:
\[ x_{верш} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5. \]

Парабола убывает для \( x < -1.5 \) и возрастает для \( x > -1.5 \).
Т.к. условие для этого участка — \( x \geq -2 \), то вершина находится внутри области определения.

Найдём значение функции в вершине:
\[ y_{верш} = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3. \]

Расчёт:
\[ 2 \times 2.25 + (-9) + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5. \]

Итог: вершина находится при \( ( -1.5, -1.5) \). В области \( x \geq -2 \) значения \( y \) уменьшаются до вершины, затем растут.

---

Шаг 3. Анализ части для \( x < -2 \)

Это прямая: \( y = x + 2 \).

Здесь любой \( x < -2 \), и \( y \) составляет \( x + 2 \).

---

Шаг 4. Построение графика итогово

• Для \( x < -2 \): график — прямая \( y = x + 2 \).
• Для \( x \geq -2 \): парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).

На границе \( x = -2 \):

Подставим \( x = -2 \) в обе части:

• В параболу: \( y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \).
• В линию: \( y = -2 + 2 = 0 \).

Обратите внимание: в точке \( x = -2 \):

• Парабола даёт \( y = -1 \),
• Линия даёт \( y = 0 \).

Это значит, что графики не принадлежат одной точке — есть «скачок» (точка разрыва). График объединён, ибо это задание — кусочно-заданная функция, и вершина параболы «начинается» при \( x \geq -2 \).

---

Шаг 5. Условия пересечения с прямой \( y = m \)

Чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно в двух точках, нужно:

• Рассмотреть пересечения с обеими частями графика:
  • \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \),
  • \( y = x + 2 \) для \( x < -2 \).

Важное уточнение: какие значения \( m \) можно выбрать?

---

Шаг 6. Анализ пересечений с линией \( y = m \)

1. Пересечение с параболой \( y = 2x^2 + 6x + 3 \):

Квадратное уравнение:
\[ 2x^2 + 6x + 3 = m \Rightarrow 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0. \]

Дискриминант:
\[ D_1 = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m. \]

• Для существования 2 пересечений: \( D_1 > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow 8m > -12 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} = -1.5. \)

• Для ровно 1 пересечения: \( D_1 = 0 \Rightarrow m = -1.5 \).

• Для 0 пересечений: \( D_1 < 0 \Rightarrow m < -1.5 \).

2. Пересечение с линией \( y = x + 2 \) (на \( x < -2 \) ):

Решаем уравнение:
\[ x + 2 = m \Rightarrow x = m - 2. \]

Чтобы эта точка принадлежала области \( x < -2 \):

\[ m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0. \]

---

Шаг 7. Анализ количества пересечений в зависимости от \( m \)

• Для \( m > -1.5 \):

  • Пересечение с параболой: 2 точки (так как дискриминант положителен).
  • Пересечение с линией \( x + 2 \) — есть, если \( m < 0 \).

  Однако, для основной части важна ситуация, так как прямая должна иметь ровно 2 пересечения всего графика.

Последовательный анализ:

• Если \( m > 0 \):

  • Пересечение с линией: \( x = m - 2 \), и \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \). Но мы рассматриваем \( m > 0 \), значит \( m - 2 \geq -2 \).
  • Тогда, пересечение с линией происходит при \( m < 0 \), а мы рассматриваем \( m > 0 \), следовательно, пересечения линия с линией не считается в случае \( m > 0 \).

Объединяем условия:

• Парабола:
  • Для \( m > -1.5 \): 2 пересечения (они делятся по \( x \geq -2 \)).
• Линия:
  • Пересекает и линию \( y = x+2 \) при \( m < 0 \).

Итог:

Чтобы прямая \( y=m \) имела ровно 2 точки пересечения:

• оба пересечения — в параболе и линии, или

• только в одной части, но так, чтобы всего было ровно 2 точки

• на границах пересечений:

  • В точке \( m = -1.5 \):

    • Дискриминант параболы равен нулю, то есть ровно 1 решение — касание.
    • В линии для \( m = -1.5 \), \( x = -1.5 - 2 = -3.5 \).

    Проверка, входит ли этот \( x \) в область \( x < -2 \):

    \[ -3.5 < -2 \quad \text{да, входит}. \]

  Тогда у линии — одно решение \( x = -3.5 \).

  На параболе — ровно один корень (касание). Вместе — всего 2 точки, эта ситуация подходит.

• В точке \( m = 0 \):

  • Эгда \( D_{parabola} = 12 + 8 \times 0 = 12 > 0 \), значит 2 пересечения.

  • Линия стерта: \( x = 0 - 2 = -2 \), то есть точка \( x = -2 \).

  Проверим, входит ли эта точка в область:

  \( -2 \) — граница для региона \( x < -2 \). Не входит (неидеальный случай). Т.к. для \( x < -2 \), точка \( x = -2 \) не входит, а для \( x \ge -2 \), парабола определена.

  Значит \( x = -2 \) — точка «горизонтальной границы».
  На границе: парабола при \( x = -2 \):

  \[ y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1. \]

  Линия в \( y = 0 \). Тут есть одна точка пересечения — при \( x = -2 \), \( y = 0 \).

  Тогда всего пересечений — два: одна с линией, одна с параболой или в точке границы?

  По условию — точка \( x = -2 \) — это граница. Пересечения в точке для обеих функций:

  • В параболе: при \( x = -2 \), \( y = -1 \).
  • В линии: \( y = 0 \).

  Значит, в точке \( x=-2 \): график превращается из линии в параболу, и точки пересечения — разные.

  Следовательно, — в этой точке есть две пересечения.

---

Итоговые значения \( m \):

• Когда \( m = -1.5 \):

  — касание параболы, примерно в точке \( x = -1.5 \);

• Когда \( m = 0 \):

  — пересечение и линии, и параболы при \( x = -2 \).

Общее правило:

• Для \( m \in (-1.5, 0) \), у нас есть две пересечения:

  — с параболой (2 корня), и — с линией, а в некоторых случаях — два пересечения, если \( D_1 > 0 \).

• В точках \( m = -1.5 \) и \( m=0 \):

  — по одному касанию или точке пересечения.

---

Ответ:

Число \( m \), при котором прямого \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках, — m = -1.5 и m=0.

Но по условию — нужно записать число и промежуток.

Итак, полное условие:

Значения \( m \), при которых ровно две точки пересечения, — \( m \in [-1.5; 0) \).

Потому что:

• В \( m > 0 \) — пересечений больше двух (с параболой — 2, с линией — 0 или 1).

• В \( m < -1.5 \) — больше 2 пересечений (например, 0 или 1).

• В \( m = -1.5 \) — ровно 1 касание параболы и одно пересечение с линией — всего 2.

• В \( m=0 \) — касание или пересечение в границе.

Итоговая запись ответа по примеру:

ответ: 0(-1.5;0)

---

Итоговые данные для ответа:

0(-1.5;0)

---

Если нужно — могу дать окончательную версию!