Задание 22 Сообщить об ошибке 22. Построй график функции  { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)

Давайте разберём задачу пошагово. **Задача:** Построить график функции \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции. --- ### Шаг 1. Построение графика функции Функция задана как кусочно-заданная: - Для \( x \geq -2 \): \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) — это парабола, ветви вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( 2 > 0 \)). - Для \( x < -2 \): \( y = x + 2 \) — это прямая. --- ### Шаг 2. Анализ части для \( x \geq -2 \) Найдём вершину параболы: Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x_{верш} = -\frac{b}{2a} \). Значения: \[ a = 2, \quad b = 6, \quad c = 3. \] Тогда: \[ x_{верш} = -\frac{6}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5. \] Парабола убывает для \( x < -1.5 \) и возрастает для \( x > -1.5 \). Т.к. условие для этого участка — \( x \geq -2 \), то вершина находится внутри области определения. Найдём значение функции в вершине: \[ y_{верш} = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3. \] Расчёт: \[ 2 \times 2.25 + (-9) + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5. \] **Итог:** вершина находится при \( ( -1.5, -1.5) \). В области \( x \geq -2 \) значения \( y \) уменьшаются до вершины, затем растут. --- ### Шаг 3. Анализ части для \( x < -2 \) Это прямая: \( y = x + 2 \). Здесь любой \( x < -2 \), и \( y \) составляет \( x + 2 \). --- ### Шаг 4. Построение графика итогово - Для \( x < -2 \): график — прямая \( y = x + 2 \). - Для \( x \geq -2 \): парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \). На границе \( x = -2 \): Подставим \( x = -2 \) в обе части: - В параболу: \( y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \times 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \). - В линию: \( y = -2 + 2 = 0 \). Обратите внимание: в точке \( x = -2 \): - Парабола даёт \( y = -1 \), - Линия даёт \( y = 0 \). Это значит, что графики не принадлежат одной точке — есть «скачок» (точка разрыва). График объединён, ибо это задание — кусочно-заданная функция, и вершина параболы «начинается» при \( x \geq -2 \). --- ### Шаг 5. Условия пересечения с прямой \( y = m \) Чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно в **двух точках**, нужно: - Рассмотреть пересечения с обеими частями графика: - \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \), - \( y = x + 2 \) для \( x < -2 \). **Важное уточнение:** какие значения \( m \) можно выбрать? --- ### Шаг 6. Анализ пересечений с линией \( y = m \) 1. **Пересечение с параболой \( y = 2x^2 + 6x + 3 \):** Квадратное уравнение: \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \Rightarrow 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0. \] Дискриминант: \[ D_1 = (6)^2 - 4 \times 2 \times (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m. \] - Для существования 2 пересечений: \( D_1 > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow 8m > -12 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} = -1.5. \) - Для ровно 1 пересечения: \( D_1 = 0 \Rightarrow m = -1.5 \). - Для 0 пересечений: \( D_1 < 0 \Rightarrow m < -1.5 \). 2. **Пересечение с линией \( y = x + 2 \) (на \( x < -2 \) ):** Решаем уравнение: \[ x + 2 = m \Rightarrow x = m - 2. \] Чтобы эта точка принадлежала области \( x < -2 \): \[ m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0. \] --- ### Шаг 7. Анализ количества пересечений в зависимости от \( m \) - Для \( m > -1.5 \): - Пересечение с параболой: 2 точки (так как дискриминант положителен). - Пересечение с линией \( x + 2 \) — есть, если \( m < 0 \). Однако, для основной части важна ситуация, так как прямая должна иметь ровно **2 пересечения** всего графика. - Последовательный анализ: - Если \( m > 0 \): - Пересечение с линией: \( x = m - 2 \), и \( m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \). Но мы рассматриваем \( m > 0 \), значит \( m - 2 \geq -2 \). - Тогда, пересечение с линией происходит при \( m < 0 \), а мы рассматриваем \( m > 0 \), следовательно, пересечения линия с линией не считается в случае \( m > 0 \). - Объединяем условия: - **Парабола:** - Для \( m > -1.5 \): 2 пересечения (они делятся по \( x \geq -2 \)). - **Линия:** - Пересекает и линию \( y = x+2 \) при \( m < 0 \). #### Итог: Чтобы прямая \( y=m \) имела ровно 2 точки пересечения: - оба пересечения — в параболе и линии, или - только в одной части, но так, чтобы всего было ровно 2 точки - на границах пересечений: - В точке \( m = -1.5 \): - Дискриминант параболы равен нулю, то есть ровно 1 решение — касание. - В линии для \( m = -1.5 \), \( x = -1.5 - 2 = -3.5 \). Проверка, входит ли этот \( x \) в область \( x < -2 \): \[ -3.5 < -2 \quad \text{да, входит}. \] Тогда у линии — одно решение \( x = -3.5 \). На параболе — ровно один корень (касание). Вместе — всего 2 точки, эта ситуация подходит. - В точке \( m = 0 \): - Эгда \( D_{parabola} = 12 + 8 \times 0 = 12 > 0 \), значит 2 пересечения. - Линия стерта: \( x = 0 - 2 = -2 \), то есть точка \( x = -2 \). Проверим, входит ли эта точка в область: \( -2 \) — граница для региона \( x < -2 \). Не входит (неидеальный случай). Т.к. для \( x < -2 \), точка \( x = -2 \) не входит, а для \( x \ge -2 \), парабола определена. Значит \( x = -2 \) — точка «горизонтальной границы». На границе: парабола при \( x = -2 \): \[ y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1. \] Линия в \( y = 0 \). Тут есть одна точка пересечения — при \( x = -2 \), \( y = 0 \). Тогда всего пересечений — два: одна с линией, одна с параболой или в точке границы? По условию — точка \( x = -2 \) — это граница. Пересечения в точке для обеих функций: - В параболе: при \( x = -2 \), \( y = -1 \). - В линии: \( y = 0 \). Значит, в точке \( x=-2 \): график превращается из линии в параболу, и точки пересечения — разные. Следовательно, — в этой точке есть две пересечения. --- ### Итоговые значения \( m \): - Когда \( m = -1.5 \): — касание параболы, примерно в точке \( x = -1.5 \); - Когда \( m = 0 \): — пересечение и линии, и параболы при \( x = -2 \). Общее правило: - Для \( m \in (-1.5, 0) \), у нас есть две пересечения: — с параболой (2 корня), и — с линией, а в некоторых случаях — два пересечения, если \( D_1 > 0 \). - В точках \( m = -1.5 \) и \( m=0 \): — по одному касанию или точке пересечения. --- ### **Ответ:** **Число \( m \), при котором прямого \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках, — m = -1.5 и m=0.** Но по условию — нужно записать число и промежуток. Итак, полное условие: **Значения \( m \), при которых ровно две точки пересечения, — \( m \in [-1.5; 0) \).** Потому что: - В \( m > 0 \) — пересечений больше двух (с параболой — 2, с линией — 0 или 1). - В \( m < -1.5 \) — больше 2 пересечений (например, 0 или 1). - В \( m = -1.5 \) — ровно 1 касание параболы и одно пересечение с линией — всего 2. - В \( m=0 \) — касание или пересечение в границе. Итоговая запись ответа по примеру: **ответ: 0(-1.5;0)** --- ### Итоговые данные для ответа: **0(-1.5;0)** --- Если нужно — могу дать окончательную версию!