3х²-11х+6>0 решите неравенства
Давайте решим неравенство \(3x^2 - 11x + 6 > 0\). Поскольку оно относится к квадратичным неравенствам, разберёмся шаг за шагом.
Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения
Для этого решим уравнение:
\[3x^2 - 11x + 6 = 0\]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \]
Дискриминант положителен, значит корни есть.
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения \(a=3,\ b=-11,\ c=6\):
\[ x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 7}{6} \]
Посчитаем два корня:
- Первый:
\[ x_1 = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
- Второй:
\[ x_2 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
Отсортируем корни по возрастанию: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = 3\).
Шаг 2: Определим знаки квадратичной функции
Квадратичная функция \(f(x) = 3x^2 - 11x + 6\), коэффициент при \(x^2\) равен 3 — положительный, значит парабола "вертикально направлена вверх".
На интервалах, делящихся корнями, знак функции меняется.
— Интервалы:
- \((-\infty, \frac{2}{3})\)
- \(\left(\frac{2}{3}, 3\right)\)
- \((3, +\infty)\)
Поскольку парабола "вверх", то:
- На интервале левее меньшего корня (\(-\infty, \frac{2}{3}\)) — значение функции положительно.
- Между корнями \(\frac{2}{3}\) и 3 — значение функции отрицательно.
- Правее 3 — значение функции снова положительно.
Шаг 3: Запишем решение неравенства
Нам нужно найти области, где \(3x^2 - 11x + 6 > 0\).
Области, где функция больше нуля:
\[ (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (3, +\infty) \]
Итог:
Ответ: \(\boxed{ x \in (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (3, +\infty) }\)
Это — все значения \(x\), при которых исходное неравенство выполнено.
