3х²-11х+6>0 решите неравенства

Давайте решим неравенство \(3x^2 - 11x + 6 > 0\). Поскольку оно относится к квадратичным неравенствам, разберёмся шаг за шагом. ### Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения Для этого решим уравнение: \[3x^2 - 11x + 6 = 0\] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \] Дискриминант положителен, значит корни есть. Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \(a=3,\ b=-11,\ c=6\): \[ x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 7}{6} \] Посчитаем два корня: - Первый: \[ x_1 = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] - Второй: \[ x_2 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] Отсортируем корни по возрастанию: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = 3\). ### Шаг 2: Определим знаки квадратичной функции Квадратичная функция \(f(x) = 3x^2 - 11x + 6\), коэффициент при \(x^2\) равен 3 — положительный, значит парабола "вертикально направлена вверх". На интервалах, делящихся корнями, знак функции меняется. — Интервалы: 1. \((-\infty, \frac{2}{3})\) 2. \(\left(\frac{2}{3}, 3\right)\) 3. \((3, +\infty)\) Поскольку парабола "вверх", то: - **На интервале левее меньшего корня (\(-\infty, \frac{2}{3}\))** — значение функции положительно. - **Между корнями \(\frac{2}{3}\) и 3** — значение функции отрицательно. - **Правее 3** — значение функции снова положительно. ### Шаг 3: Запишем решение неравенства Нам нужно найти области, где \(3x^2 - 11x + 6 > 0\). Области, где функция **больше нуля**: \[ (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (3, +\infty) \] --- ### Итог: **Ответ:** \(\boxed{ x \in (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (3, +\infty) }\) Это — все значения \(x\), при которых исходное неравенство выполнено.