Реши 3,4,5
Конечно! Ниже приведены подробные решения задач 3, 4 и 5.
Задача 3
\[ \left(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right)^x - \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\right)^x = 4\sqrt{2} \]
Шаг 1: Упростим выражения внутри квадратных корней.
Обратим внимание, что: \[ 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2, \quad 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 \]
Потому что: \[ (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} \] \[ (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \]
Итак: \[ \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1 \] \[ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 \]
Поскольку \(\sqrt{2} - 1 > 0\), знак модуля не нужен.
Шаг 2: Подставим эти значения обратно:
\[ (\sqrt{2} + 1)^x - (\sqrt{2} - 1)^x = 4\sqrt{2} \]
Шаг 3: Вспомним, что это похоже на разность степеней:
Обозначим: \[ A = \sqrt{2} + 1, \quad B = \sqrt{2} - 1 \]
Следовательно: \[ A^x - B^x = 4\sqrt{2} \]
Заметим, что: \[ A \cdot B = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 2 - 1 = 1 \]
Шаг 4: Проверим, при каком \(x\) левая часть равна \(4\sqrt{2}\).
Обратим внимание, что: \[ A - B = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2 \] и \[ A + B = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \]
Выражение похоже на разность степеней, и можно проверить, что при \(x=3\): \[ A^3 - B^3 \]
Вспомним формулу разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Обозначим: \[ a = A = \sqrt{2} + 1, \quad b = B = \sqrt{2} - 1 \]
Тогда: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \]
Посчитаем: \[ A - B = 2 \] \[ A^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \] \[ B^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2} \] \[ AB = 1 \]
Следовательно: \[ A^2 + AB + B^2 = (3 + 2\sqrt{2}) + 1 + (3 - 2\sqrt{2}) = (3 + 1 + 3) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 7 \]
Теперь: \[ A^3 - B^3 = 2 \times 7 = 14 \]
Так как \(A^3 - B^3 = 14\), а \(14 \neq 4 \sqrt{2}\), попробуем при \(x=2\):
\[ A^2 - B^2 \]
Вспомним формулу: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Уже есть: \[ A - B = 2 \] \[ A + B = 2\sqrt{2} \]
Тогда: \[ A^2 - B^2 = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]
Это точно то, что нам нужно!
Ответ:
\[ \boxed{\boxed{x=2}} \]
Задача 4
\[ |x + 1|^{2\sqrt{x+4}} = |x + 1|^{x+5} \]
Шаг 1: Рассмотрим случаи равенства.
Если основание \(|x + 1|\) не равно 0, то можем приравнять показатели степеней:
\[ 2\sqrt{x+4} = x + 5 \]
Также, если \(|x + 1|=0\), то:
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
Проверим в отдельности.
Случай 1: \(x \neq -1\)
Тогда: \[ 2 \sqrt{x+4} = x + 5 \]
Шаг 2: Решим уравнение:
\[ 2 \sqrt{x+4} = x + 5 \]
Обозначим: \[ t = \sqrt{x+4} \] тогда: \[ t \ge 0 \]
выражение: \[ 2t = x + 5 \] \[ x = 2t - 5 \]
Также: \[ t^2 = x + 4 \] подставляем \(x\):
\[ t^2 = (2t - 5) + 4 = 2t - 1 \]
Получаем квадратичное уравнение: \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \]
или:
\[ t^2 - 2t + 1=0 \] \[ (t - 1)^2=0 \] \[ t=1 \]
Теперь найдем \(x\): \[ x = 2t - 5 = 2 \times 1 - 5 = -3 \]
Проверим, входит ли \(x=-3\) в исходное уравнение:
\[ x+4 = -3+4=1 \ge 0 \] \[ x+1=-3+1=-2 \neq 0 \]
подставляем:
\[ |x+1|^{2\sqrt{x+4}} = |x+1|^{x+5} \] \[ 2^{2 \times 1} = 2^{(-3)+5} \Rightarrow 2^2 = 2^2 \] \[ 4=4 \]
Это верно. Плюс, проверим что основание не равно 0 — да, не равно.
Случай 2: \(x=-1\)
Тогда:
Левое выражение: \(|x+1|^{2\sqrt{x+4}}\)
Подставим \(x=-1\):
\[ | -1 + 1 |^{2 \sqrt{-1 + 4}} = |0|^{2 \sqrt{3}} = 0 \]
Правое выражение:
\[ |x+1|^{x+5} = 0^{(-1)+5} = 0^{4} = 0 \]
Обозначение 0 в степени 4 — равно 0.
Это также решение.
Итог: ответ
\[ \boxed{ x = -3 \quad \text{или} \quad x = -1 } \]
Задача 5
Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение: \[ 25^x + (a-3)5^x + 2 - 2a = 0 \] имеет два различных корня.
Решение
Шаг 1: Ввести замену
Обозначим: \[ t = 5^x \] Тогда уравнение перепишется как: \[ 25^x + (a-3)5^x + 2 - 2a = 0 \]
Но \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2 = t^2\).
И
