В угол величиной 60° вписана окружность, центр которой находится на расстоянии 13 см от вершины угла. Найдите радиус окружности.

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Угол в пространстве (величина угла) — 60° - В этот угол вписана окружность - Центр окружности находится на расстоянии 13 см от вершины угла (вершинный источник внимания — точка вершины угла) - Нужно найти радиус окружности (обозначим его как R) --- ### Шаг 1: Визуализация задачи Обозначим: - Вершину угла как точку V - Два луча, образующие угол в 60°, как линии VA и VB - Окружность, вписанная в угол, касающаяся обоих лучей - Центр окружности как точку C на расстоянии 13 см от вершины V --- ### Шаг 2: Свойства вписанной окружности в угол Вписанная окружность внутри угла касается обоих его сторон. Центр этой окружности, по свойствам, находится на bisсекторе угла. - **Биссектор** — линия, делящая угол пополам. - Центр окружности находится на bisсекторе и на расстоянии R от обеих сторон (касательных). Поскольку окружность касается обеих сторон, то расстояние от центра C до каждой стороны равно радиусу R. --- ### Шаг 3: Анализ расстояния от центра до вершины Центр окружности C находится на расстоянии 13 см от вершины V. Пусть длина расстояния от V до C есть 13 см. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной V, центром окружности C и точками касания окружности с каждой стороной. --- ### Шаг 4: Построение геометрической модели Расположим точку V и проведем биссектор угла. Обозначим: - угол V = 60° - Центр окружности C лежит на биссекторе и на расстоянии 13 см от V - Центр C находится в центре окружности с радиусом R Обозначим: - Расстояние от V до C: \( VC = 13 \) см - Угол между лучами VА и VB: 60°, следовательно, угол между биссектором и каждой стороной: 30° (поскольку биссектор делит угол поровну). --- ### Шаг 5: Связь между R, V, и C Поскольку центр окружности лежит на биссекторе и расстояние до вершины равно 13 см, а радиус окружности касается обеих сторон, то расстояние от центра до любой стороны равно R. Рассмотрим треугольник **VC**: - \( V \) — вершина, - \( C \) — центр окружности, - угол между линией VC и биссектором: 0° (они совпадают). Чтобы связать R и 13 см, заметим: - Расстояние от C до каждой стороны равно R - Расстояние от V до C — 13 см, при этом, поскольку C лежит на биссекторе, а стороны разделены на 30° с этой биссекторной линией, то расстояние от C до каждой стороны равно R, а расстояние от C до вершины V — 13 см. --- ### Шаг 6: Формула зависимости радиуса R Рассмотрим треугольник, образованный: - вершиной V, - центром окружности C, - точкой касания Q с одной стороны. Пусть: - Пусть угол между V — C и биссектором — 0°, а между C — касательной — 90°, так как радиус перпендикулярен касательной. Тогда, чтобы найти R, используем тригонометрию. На биссекторе: - Расстояние от V до C — \( VC = 13 \) - Расстояние от C до касательной (сторон угла) равно R - Угол между VC и касательной: 30° (половина угла) Тогда, по тригонометрии: \[ R = VC \times \sin 30^\circ \] Поскольку: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Итак: \[ R = 13 \times \frac{1}{2} = 6.5 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Радиус окружности равен 6,5 см.** Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор — спрашивайте!