В угол величиной 60° вписана окружность, центр которой находится на расстоянии 13 см от вершины угла. Найдите радиус окружности.
Данная задача относится к области планиметрии, связанной с вписанными окружностями и углами. Постараемся подробно разобраться и решить её поэтапно.
Дано:
- В угол с вершиной \( V \) и одним из боковых лучей, образующим угол \( 60^\circ \), вписана окружность.
- Центр окружности — точка \( O \).
- Расстояние от вершины угла \( V \) до центра окружности \( O \) равно 13 см.
- Нужно найти радиус окружности \( r \).
Шаг 1: Визуализируем ситуацию
Обозначим:
- \( V \) — вершина угла.
- Лучи, образующие угол \( \angle V \), — пусть это лучи \( VA \) и \( VB \).
- Окружность вписана в угол \( \angle AVB \).
- Центр окружности \( O \) лежит внутри этого уголка.
- Расстояние \( VO = 13 \) см.
Поскольку окружность вписана в угол, она касается обоих сторон (лучей) этого угла. В таком случае её центр \( O \) расположен внутри угла и равноудален от обеих сторон.
Шаг 2: Свойства вписанной окружности в угол
Для окружности, вписанной в угол \( \angle AVB = 60^\circ \), центром которой является точка \( O \), выполнено следующее:
- Расстояние от \( O \) до каждой стороны угла равно радиусу окружности \( r \).
- Поскольку \( O \) равноудален от обеих сторон, его положение — это точка, которая находится на биссектрисе угла.
Итак, основное свойство:
- Центр вписанной окружности внутри угла лежит на его биссектрисе и равноудален от обеих сторон.
Шаг 3: Построение и использование свойства
Обозначим:
- \( V \) — вершина угла.
- \( O \) — центр окружности на биссектрисе угла.
- \( r \) — радиус окружности.
По условию, \( VO = 13 \) см, и \( O \) — на биссектрисе угла \( \angle V \).
Также, поскольку \( O \) равноудален от обеих сторон, отрезки \( OA \) и \( OB \), перпендикулярные сторонам, равны \( r \).
Шаг 4: Определение расстояния \( VO \)
Рассмотрим треугольник \( V O X \), где \( X \) — точка на стороне угла, такая что \( OX \) — перпендикуляр к стороне \( VA \) или \( VB \).
Поскольку \( O \) лежит на биссектрисе, а угол равен \( 60^\circ \), то:
- Биссектриса делит угол на два равных угла по \( 30^\circ \).
- Расстояние \( VO \) — это длина от вершины \( V \) до точки \( \( O \), лежащей на биссектрисе.
Теперь, чтобы связать радиус \( r \) и расстояние \( VO \), воспользуемся геометрическими соотношениями.
Шаг 5: Анализ расстояний и построений
В точке \( O \), на биссектрисе, радиус равенот обеих сторон, и:
- Расстояние от \( O \) до каждой стороны равно \( r \).
- Расстояние от \( V \) до \( O \) — это длина от вершины до точки на бисссектрисе, которая отстоит от \( V \) на \( 13 \) см.
Обозначим:
- Ось \( VO \) — биссектриса.
- Угол при вершине \( V \): \( 60^\circ \).
Чтобы найти \( r \), вспомним, что:
\[ VO = d = 13\, \text{см} \]
и поскольку \( O \) лежит на бисссектрисе, а бисссектриса делит угол на два по \( 30^\circ \), то:
\[ \text{расстояние} \quad d = \frac{r}{\sin 30^\circ} \]
поскольку:
\[ d = r \times \frac{1}{\sin 30^\circ} \]
Поскольку \(\sin 30^\circ = 0.5 \),
\[ d = \frac{r}{0.5} = 2r \]
Но из условия \( d = 13 \) см, поэтому:
\[ 13 = 2r \]
и, следовательно,
\[ r = \frac{13}{2} = 6.5\, \text{см} \]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен \( \boxed{6.5\, \text{см}} \).
Если есть необходимость, могу объяснить более подробно или рассмотреть другие случаи!
