В угол величиной 60° вписана окружность, центр которой находится на расстоянии 13 см от вершины угла. Найдите радиус окружности.

Данная задача относится к области планиметрии, связанной с вписанными окружностями и углами. Постараемся подробно разобраться и решить её поэтапно. **Дано:** - В угол с вершиной \( V \) и одним из боковых лучей, образующим угол \( 60^\circ \), вписана окружность. - Центр окружности — точка \( O \). - Расстояние от вершины угла \( V \) до центра окружности \( O \) равно 13 см. - Нужно найти радиус окружности \( r \). --- ### Шаг 1: Визуализируем ситуацию Обозначим: - \( V \) — вершина угла. - Лучи, образующие угол \( \angle V \), — пусть это лучи \( VA \) и \( VB \). - Окружность вписана в угол \( \angle AVB \). - Центр окружности \( O \) лежит внутри этого уголка. - Расстояние \( VO = 13 \) см. Поскольку окружность вписана в угол, она касается обоих сторон (лучей) этого угла. В таком случае её центр \( O \) расположен внутри угла и равноудален от обеих сторон. --- ### Шаг 2: Свойства вписанной окружности в угол Для окружности, вписанной в угол \( \angle AVB = 60^\circ \), центром которой является точка \( O \), выполнено следующее: - Расстояние от \( O \) до каждой стороны угла равно радиусу окружности \( r \). - Поскольку \( O \) равноудален от обеих сторон, его положение — это точка, которая находится на биссектрисе угла. Итак, основное свойство: - **Центр вписанной окружности внутри угла лежит на его биссектрисе и равноудален от обеих сторон.** --- ### Шаг 3: Построение и использование свойства Обозначим: - \( V \) — вершина угла. - \( O \) — центр окружности на биссектрисе угла. - \( r \) — радиус окружности. По условию, \( VO = 13 \) см, и \( O \) — на биссектрисе угла \( \angle V \). Также, поскольку \( O \) равноудален от обеих сторон, отрезки \( OA \) и \( OB \), перпендикулярные сторонам, равны \( r \). --- ### Шаг 4: Определение расстояния \( VO \) Рассмотрим треугольник \( V O X \), где \( X \) — точка на стороне угла, такая что \( OX \) — перпендикуляр к стороне \( VA \) или \( VB \). Поскольку \( O \) лежит на биссектрисе, а угол равен \( 60^\circ \), то: - Биссектриса делит угол на два равных угла по \( 30^\circ \). - Расстояние \( VO \) — это длина от вершины \( V \) до точки \( \( O \), лежащей на биссектрисе. Теперь, чтобы связать радиус \( r \) и расстояние \( VO \), воспользуемся геометрическими соотношениями. --- ### Шаг 5: Анализ расстояний и построений В точке \( O \), на биссектрисе, радиус равенот обеих сторон, и: - Расстояние от \( O \) до каждой стороны равно \( r \). - Расстояние от \( V \) до \( O \) — это длина от вершины до точки на бисссектрисе, которая отстоит от \( V \) на \( 13 \) см. Обозначим: - Ось \( VO \) — биссектриса. - Угол при вершине \( V \): \( 60^\circ \). Чтобы найти \( r \), вспомним, что: \[ VO = d = 13\, \text{см} \] и поскольку \( O \) лежит на бисссектрисе, а бисссектриса делит угол на два по \( 30^\circ \), то: \[ \text{расстояние} \quad d = \frac{r}{\sin 30^\circ} \] поскольку: \[ d = r \times \frac{1}{\sin 30^\circ} \] Поскольку \(\sin 30^\circ = 0.5 \), \[ d = \frac{r}{0.5} = 2r \] Но из условия \( d = 13 \) см, поэтому: \[ 13 = 2r \] и, следовательно, \[ r = \frac{13}{2} = 6.5\, \text{см} \] --- ### **Ответ:** **Радиус вписанной окружности равен \( \boxed{6.5\, \text{см}} \).** --- Если есть необходимость, могу объяснить более подробно или рассмотреть другие случаи!