{ 3 2a + 12 5b = 6 7 , 5 2a = 5 4 − 10 3b .
Рассмотрим систему уравнений:
\(\frac{3}{2}a + \frac{12}{5}b = \frac{6}{7}\)
\(\frac{5}{2}a = \frac{5}{4} - \frac{10}{3}b\)
Цель — найти значения \(a\) и \(b\).
Шаг 1: упростим оба уравнения для удобства.
Уравнение 1:
\[ \frac{3}{2}a + \frac{12}{5}b = \frac{6}{7} \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 5 и 7. Общее кратное — 70.
Перемножим обе части уравнения на 70:
\[ 70 \times \left(\frac{3}{2}a + \frac{12}{5}b\right) = 70 \times \frac{6}{7} \]
Посчитаем каждую часть:
\[ 70 \times \frac{3}{2}a = 70 \div 2 \times 3a = 35 \times 3a = 105a \]
\[ 70 \times \frac{12}{5}b = 70 \div 5 \times 12b = 14 \times 12b = 168b \]
\[ 70 \times \frac{6}{7} = 10 \times 6 = 60 \]
Таким образом, получаем:
\[ 105a + 168b = 60 \]
Это уравнение (1).
Уравнение 2:
\[ \frac{5}{2}a = \frac{5}{4} - \frac{10}{3}b \]
Обратимся справа: чтобы избавиться от дробей, возьмём общий знаменатель: 12.
Перепишем каждое выражение, умножив оба уравнения на 12:
\[ 12 \times \left(\frac{5}{2}a\right) = 12 \times \left(\frac{5}{4} - \frac{10}{3}b\right) \]
Левое выражение:
\[ 12 \div 2 \times 5a = 6 \times 5a = 30a \]
Правое выражение:
\[ 12 \times \frac{5}{4} = 3 \times 5 = 15 \] \[ 12 \times \frac{10}{3}b = 4 \times 10b = 40b \]
Обратите внимание, что знак минус сохраняется:
\[ \Rightarrow 30a = 15 - 40b \]
Это уравнение (2).
Теперь у нас есть система:
\[ \begin{cases} 105a + 168b = 60 \quad \text{(1)} \\ 30a = 15 - 40b \quad \text{(2)} \end{cases} \]
Шаг 2: из уравнения (2) выразим \(a\):
\[ 30a = 15 - 40b \implies a = \frac{15 - 40b}{30} = \frac{15}{30} - \frac{40b}{30} = \frac{1}{2} - \frac{4b}{3} \]
Шаг 3: подставим выражение для \(a\) в уравнение (1):
\[ 105 \left( \frac{1}{2} - \frac{4b}{3} \right) + 168b = 60 \]
Раскроем скобки:
\[ 105 \times \frac{1}{2} - 105 \times \frac{4b}{3} + 168b = 60 \]
Посчитаем каждое слагаемое:
\[ \frac{105}{2} - \frac{105 \times 4b}{3} + 168b = 60 \]
\[ \frac{105}{2} - \frac{420b}{3} + 168b = 60 \]
Упростим:
\[ \frac{105}{2} - 140b + 168b = 60 \]
Объединим похожие члены:
\[ \frac{105}{2} + 28b = 60 \]
Переведём \(\frac{105}{2}\) в десятичную или оставим в виде дроби:
\[ \frac{105}{2} + 28b = 60 \]
Вычтем \(\frac{105}{2}\) из обеих частей:
\[ 28b = 60 - \frac{105}{2} \]
Запишем 60 как дробь \(\frac{120}{2}\):
\[ 28b = \frac{120}{2} - \frac{105}{2} = \frac{15}{2} \]
Теперь выразим \(b\):
\[ b = \frac{\frac{15}{2}}{28} = \frac{15}{2} \times \frac{1}{28} = \frac{15}{2 \times 28} = \frac{15}{56} \]
Ответ для \(b\):
\[ b = \frac{15}{56} \]
Шаг 4: найдём \(a\):
\[ a = \frac{1}{2} - \frac{4b}{3} \]
Подставляем значение \(b\):
\[ a = \frac{1}{2} - \frac{4 \times \frac{15}{56}}{3} \]
Вычисляем numerator:
\[ 4 \times \frac{15}{56} = \frac{60}{56} = \frac{15}{14} \]
Теперь:
\[ a = \frac{1}{2} - \frac{\frac{15}{14}}{3} \]
Деление на 3 — это умножение на \(\frac{1}{3}\):
\[ a = \frac{1}{2} - \frac{15}{14} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{15}{14 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{15}{42} \]
Упростим \(\frac{15}{42}\):
\[ \frac{15}{42} = \frac{5}{14} \]
Теперь:
\[ a = \frac{1}{2} - \frac{5}{14} \]
Приведём обе дроби к общему знаменателю 14:
\[ \frac{1}{2} = \frac{7}{14} \]
Тогда:
\[ a = \frac{7}{14} - \frac{5}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \]
Окончательный ответ:
\[ a = \frac{1}{7}, \quad b = \frac{15}{56} \]
Если нужно, могу проверить результаты, подставив обратно в исходные уравнения.
