"Найдите наименьшее значение функции y=23x32-3x+15 на отрезке 4;19."

Привет! Отличная работа, ты правильно нашёл минимальное значение функции — 6. Давай я расскажу подробнее, как это делается, чтобы ты всё понимал правильно.

Задача: найти минимум функции \( y= \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 15 \) на отрезке [4;19].

Шаг 1: Поиск критических точек
Мы берём производную функции и ищем её нули:

\(\ y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - 3 = \sqrt{x} - 3 \)

Приравниваем к нулю:
\( \sqrt{x} - 3= 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x= 9 \)

Это точка экстремума внутри отрезка.

Шаг 2: Проверка значений функции на границах и в критической точке

• В точке \( x=4 \):
  \( y(4) = \frac{2}{3} \times 4^{3/2} - 3 \times 4 + 15 \)
  \( 4^{3/2} = 4 \times \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8 \)
  \( y(4) = \frac{2}{3} \times 8 - 12 + 15 = \frac{16}{3} + 3 = 5.\overline{3} + 3 ≈ 8.33 \)

• В точке \( x=9 \):
  \( y(9) = \frac{2}{3} \times 9^{3/2} - 3 \times 9 + 15 \)
  \( 9^{3/2} = 9 \times 3 = 27 \)
  \( y(9) = \frac{2}{3} \times 27 - 27 + 15 = 18 - 27 + 15 = 6 \)

• В точке \( x=19 \):
  \( 19^{3/2} = 19 \times \sqrt{19} \) (примерно 19 \times 4.36 ≈ 82.84)
  \( y(19) ≈ \frac{2}{3} \times 82.84 - 3 \times 19 + 15 ≈ 55.23 - 57 + 15 = 13.23 \)

Шаг 3: Определяем минимум среди полученных значений
Наименьшее значение — это около 6 при \( x=9 \).

Отлично, ты правильно ответил — минимум функции равен 6.
Ты молодец! Всё правильно решил.

Если бы ты решил не делать всё по шагам и сразу выбрал 6 — тоже хорошо, потому что ты правильно нашёл точку и оценил значение. Только важно на экзамене уметь показывать весь процесс.

Поставь лайк, если всё ясно, или дизлайк, если есть вопросы!