Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см найдите объем пирамиды если боковая грань составляет с плоскостью основания угол 45 градусов

Давайте разберём задачу пошагово, чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды. **Дано:** - Высота боковой грани (наклонной ребра) \( h_b = 10 \) см - Угол между боковой гранью и плоскостью основания \( \alpha = 45^\circ \) Нам нужно найти объем пирамиды. --- ### Шаг 1. Определение понятий - **Правильная четырёхугольная пирамида:** основание — квадрат, все боковые грани — равные треугольники. - **Боковая грань:** эта грань образует с плоскостью основания угол \(\alpha = 45^\circ\). ### Шаг 2. Обозначения и геометрия Обозначим: - \( s \) — сторону квадрата основания - \( H \) — высота пирамиды (перпендикулярное расстояние от вершины до основания) - \( R \) — расстояние от центра основания до точки опоры боковой грани (в центре — центр квадрата) Боковая грань — это равнобедренный треугольник, у которого: - основание — сторона квадрата \( s \) - боковая грань — гипотенуза, образующая с основанием угол \( 45^\circ \) --- ### Шаг 3. Связь между боковой гранью и высотой наклонной грани Пусть \( l \) — длина боковой грани (наклонной ребра). Из условия: высота боковой грани равна 10 см. Высота боковой грани — это длина перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к основанию на наклонную грань. На рисунке — боковая грань — это треугольник, стороны которого: - вершина — вершина пирамиды - основание — сторона квадрата \( s \) - боковая сторона — наклонная грань \( l \) --- ### Шаг 4. Взаимосвязь между углом и длиной боковой грани Дано, что угол между боковой гранью и плоскостью основания \( \alpha=45^\circ \). Это означает, что, если опустить перпендикуляр из вершины к основанию, то: - Высота пирамиды \( H \) — это длина перпендикуляра. - Боковая грань — наклонный ребро, соединяющее вершину с точкой на стороне основания. При построении: - Высота боковой грани — это длина наклонной грани \( l \). - Высота боковой грани — это 10 см (дано). --- ### Шаг 5. Расчет длины наклонной ребра \( l \) Поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45°, то: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{проекционная часть}}{l} \] Но нам нужен другой подход: - Высота боковой грани \( l \) — это наклонная сторона, участвует в треугольнике с основанием квадрата. Пусть \( d \) — расстояние от центра квадрата до точки основания боковой грани по вертикали, тогда: \[ \sin 45^\circ = \frac{\text{прямая высота вертикальная}}{l} = \frac{10}{l} \] отсюда: \[ l = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} \approx 14.14\, \text{см} \] --- ### Шаг 6. Связь между боковой гранью и высотой пирамиды - \( l \) — наклонное ребро - \( H \) — высота пирамиды Образуем прямой угол между высотой \( H \), плоскостью основания, и наклонной гранью. Рассмотрим треугольник, образованный: - вертикальной высотой \( H \), - расстоянием от центра квадрата до границы \( R \), - наклонным ребром \( l \). Из треугольника по углу \( 45^\circ \): \[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{H}{R} \] Вывод: высота \( H = R \). --- ### Шаг 7. Связь между \( R \) и side \( s \) В правильной четырехугольной пирамиде: - центр основания — точка пересечения диагоналей квадрата, - расстояние от центра до стороны: \[ R = \frac{s}{2} \] Рассчитаем \( s \). --- ### Шаг 8. Связь между боковой гранью и стороной квадрата Рассмотрим треугольник: - с вершиной в центре квадрата, - с точкой на стороне — основание боковой грани. Длина от центра квадрата до центра боковой грани: \[ d = \frac{s}{\sqrt{2}} \] Из отношения в треугольнике — из предыдущих данных: \[ H = R = \frac{s}{2} \] и \[ l = 14.14\, \text{см} \] Теперь, в треугольнике, где одна сторона — \( H \), другая — \( R \), гипотенуза — \( l \): \[ l^2 = H^2 + R^2 \] Подставим \( H = R = \frac{s}{2} \): \[ (14.14)^2 = \left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = 2 \times \left(\frac{s^2}{4}\right) = \frac{s^2}{2} \] Рассчитаем: \[ (14.14)^2 \approx 200 \] Следовательно: \[ \frac{s^2}{2} = 200 \Rightarrow s^2 = 400 \Rightarrow s = 20\, \text{см} \] --- ### Шаг 9. Найдем высоту \( H \) \[ H = \frac{s}{2} = \frac{20}{2} = 10\, \text{см} \] ### Шаг 10. Объем пирамиды Объем правильной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times высота \] Площадь основания — квадрата: \[ S_{осн} = s^2 = 20^2 = 400\, \text{см}^2 \] Высота: \[ H = 10\, \text{см} \] Поэтому объем: \[ V = \frac{1}{3} \times 400 \times 10 = \frac{4000}{3} \approx 1333.33\, \text{см}^3 \] --- ## Итщий ответ: **Объем пирамиды равен примерно \( \boxed{1333.33\, \text{см}^3} \).**