высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см найдите объем пирамиды если боковая грань составляет с плоскостью основания угол 45 градусов
Давайте разберём задачу пошагово, чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды.
Дано:
- Высота боковой грани (наклонной ребра) \( h_b = 10 \) см
- Угол между боковой гранью и плоскостью основания \( \alpha = 45^\circ \)
Нам нужно найти объем пирамиды.
Шаг 1. Определение понятий
- Правильная четырёхугольная пирамида: основание — квадрат, все боковые грани — равные треугольники.
- Боковая грань: эта грань образует с плоскостью основания угол \(\alpha = 45^\circ\).
Шаг 2. Обозначения и геометрия
Обозначим:
- \( s \) — сторону квадрата основания
- \( H \) — высота пирамиды (перпендикулярное расстояние от вершины до основания)
- \( R \) — расстояние от центра основания до точки опоры боковой грани (в центре — центр квадрата)
Боковая грань — это равнобедренный треугольник, у которого:
- основание — сторона квадрата \( s \)
- боковая грань — гипотенуза, образующая с основанием угол \( 45^\circ \)
Шаг 3. Связь между боковой гранью и высотой наклонной грани
Пусть \( l \) — длина боковой грани (наклонной ребра).
Из условия: высота боковой грани равна 10 см. Высота боковой грани — это длина перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к основанию на наклонную грань.
На рисунке — боковая грань — это треугольник, стороны которого:
- вершина — вершина пирамиды
- основание — сторона квадрата \( s \)
- боковая сторона — наклонная грань \( l \)
Шаг 4. Взаимосвязь между углом и длиной боковой грани
Дано, что угол между боковой гранью и плоскостью основания \( \alpha=45^\circ \).
Это означает, что, если опустить перпендикуляр из вершины к основанию, то:
- Высота пирамиды \( H \) — это длина перпендикуляра.
- Боковая грань — наклонный ребро, соединяющее вершину с точкой на стороне основания.
При построении:
- Высота боковой грани — это длина наклонной грани \( l \).
- Высота боковой грани — это 10 см (дано).
Шаг 5. Расчет длины наклонной ребра \( l \)
Поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45°, то:
\[ \cos 45^\circ = \frac{\text{проекционная часть}}{l} \]
Но нам нужен другой подход:
- Высота боковой грани \( l \) — это наклонная сторона, участвует в треугольнике с основанием квадрата.
Пусть \( d \) — расстояние от центра квадрата до точки основания боковой грани по вертикали, тогда:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\text{прямая высота вертикальная}}{l} = \frac{10}{l} \]
отсюда:
\[ l = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} \approx 14.14\, \text{см} \]
Шаг 6. Связь между боковой гранью и высотой пирамиды
- \( l \) — наклонное ребро
- \( H \) — высота пирамиды
Образуем прямой угол между высотой \( H \), плоскостью основания, и наклонной гранью.
Рассмотрим треугольник, образованный:
- вертикальной высотой \( H \),
- расстоянием от центра квадрата до границы \( R \),
- наклонным ребром \( l \).
Из треугольника по углу \( 45^\circ \):
\[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{H}{R} \]
Вывод: высота \( H = R \).
Шаг 7. Связь между \( R \) и side \( s \)
В правильной четырехугольной пирамиде:
- центр основания — точка пересечения диагоналей квадрата,
- расстояние от центра до стороны:
\[ R = \frac{s}{2} \]
Рассчитаем \( s \).
Шаг 8. Связь между боковой гранью и стороной квадрата
Рассмотрим треугольник:
- с вершиной в центре квадрата,
- с точкой на стороне — основание боковой грани.
Длина от центра квадрата до центра боковой грани:
\[ d = \frac{s}{\sqrt{2}} \]
Из отношения в треугольнике — из предыдущих данных:
\[ H = R = \frac{s}{2} \]
и
\[ l = 14.14\, \text{см} \]
Теперь, в треугольнике, где одна сторона — \( H \), другая — \( R \), гипотенуза — \( l \):
\[ l^2 = H^2 + R^2 \]
Подставим \( H = R = \frac{s}{2} \):
\[ (14.14)^2 = \left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = 2 \times \left(\frac{s^2}{4}\right) = \frac{s^2}{2} \]
Рассчитаем:
\[ (14.14)^2 \approx 200 \]
Следовательно:
\[ \frac{s^2}{2} = 200 \Rightarrow s^2 = 400 \Rightarrow s = 20\, \text{см} \]
Шаг 9. Найдем высоту \( H \)
\[ H = \frac{s}{2} = \frac{20}{2} = 10\, \text{см} \]
Шаг 10. Объем пирамиды
Объем правильной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times высота \]
Площадь основания — квадрата:
\[ S_{осн} = s^2 = 20^2 = 400\, \text{см}^2 \]
Высота:
\[ H = 10\, \text{см} \]
Поэтому объем:
\[ V = \frac{1}{3} \times 400 \times 10 = \frac{4000}{3} \approx 1333.33\, \text{см}^3 \]
Итщий ответ:
Объем пирамиды равен примерно \( \boxed{1333.33\, \text{см}^3} \).
