В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковой стороной, равной 10 см, ∠ B=120°.найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC
Давайте разберем задачу пошагово и подробно.
Дано:
- В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где основание — \( AC \).
- Боковые стороны \( AB = BC = 10\, \text{см} \).
- Вуг \( \angle B = 120^\circ \).
Нужно найти диаметр окружности, описанной около треугольника \( ABC \).
Шаг 1. Построение и обозначение
- Треугольник равнобедренный, значит \( AB = BC \).
- Основание \( AC \) — противоположно вершине \( B \).
- Вуг \( \angle B = 120^\circ \).
Обозначим:
- \( A, C \) — концы основания.
- \( B \) — вершина треугольника, внутри которого есть угол \( 120^\circ \).
Шаг 2. Определение координат
Для удобства можно выбрать систему координат:
- Пусть \( B \) находится в начале координат: \( B(0,0) \).
- Так как треугольник равнобедренный и точка \( B \) — вершина угла, расположим \( A \) и \( C \) симметрично относительно оси \( y \):
Расстояния:
- \( AB = 10 \) см.
- \( BC = 10 \) см.
Итогово, чтобы определить координаты \( A \) и \( C \), нужно учитывать угол в \( B \).
Шаг 3. Использование угла \( \angle B = 120^\circ \)
Угол в вершине \( B \) равен \( 120^\circ \).
- Пусть \( BA \) и \( BC \) — стороны, образующие угол \( 120^\circ \):
Пусть:
- \( A \) — точка, которая находится от \( B \) на расстоянии 10 см, образуя с \( B \) первый радиус в направлении, скажем, по оси \( x \).
- \( C \) — похоже, находится на расстоянии 10 см от \( B \), образуя угол \( 120^\circ \).
Интересует:
- \( A \) — может находиться в точке \( (x_A, y_A) \),
- \( C \) — в точке \( (x_C, y_C) \).
Для этого посмотрим на возможное расположение:
Пусть \( BA \) идёт вдоль оси \( x \):
- Тогда \( A \) — в точке: \( (10, 0) \).
Для точки \( C \):
- Расположим её так, чтобы угол \( \angle ABC \) был \( 120^\circ \), и \( BC = 10 \).
Задача — найти координаты \( C \), исходя из этого.
Шаг 4. Нахождение возможных позиций точки \( C \)
\( C \) находится на окружности радиуса 10 см с центром в \( B(0,0) \): \( x^2 + y^2 = 100 \).
Вектор \( BC \) образует с осью \( x \) угол \( \theta \):
\[ C = (10 \cos \theta, 10 \sin \theta) \]
Теперь, чтобы угол \( ABC = 120^\circ \), векторы \( BA \) и \( BC \) должны образовать такой угол.
Векторы: \[ \vec{BA} = (10 - 0, 0 - 0) = (10, 0) \] \[ \vec{BC} = (10 \cos \theta, 10 \sin \theta) \]
Косинус угла между ними: \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \]
Скалллер продукт: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 10 \times 10 \cos \theta + 0 = 100 \cos \theta \]
Модуль вектора \( \vec{BA} = 10 \),
Модуль вектора \( \vec{BC} = 10 \).
Формула для косинуса угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{100 \cos \theta}{10 \times 10} = \cos \theta \]
По условию: \[ \cos \phi = - \frac{1}{2} \]
следовательно:
\[ \cos \theta = - \frac{1}{2} \]
и \( \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Два варианта:
- \( \theta = 120^\circ \) или \( 240^\circ \).
Выбираем \( \theta = 120^\circ \):
\[ C = (10 \cos 120^\circ, 10 \sin 120^\circ) = (10 \times -\tfrac{1}{2}, 10 \times \tfrac{\sqrt{3}}{2}) = (-5, 5 \sqrt{3}) \]
Шаг 5. Проверка точки \( C \)
- \( C = (-5, 5 \sqrt{3}) \).
Теперь точки:
- \( A = (10, 0) \),
- \( B = (0, 0) \),
- \( C = (-5, 5 \sqrt{3}) \).
Итоговые стороны:
- \( AB = 10 \) (по условию),
- \( BC = 10 \) (по радиусу окружности — подтверждение).
Шаг 6. Находим радиус описанной окружности
Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен радиусу описанной окружности — \( R \).
Формула радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} \]
где:
- \( a, b, c \) — стороны треугольника,
- \( S \) — площадь.
Шаг 7. Находим стороны \( AB, BC, AC \)
- \( AB = 10 \),
- \( BC = 10 \),
- \( AC = \text{расстояние между } A(10, 0) \text{ и } C(-5, 5 \sqrt{3}) \):
\[ AC = \sqrt{(-5 - 10)^2 + (5 \sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (5 \sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 25 \times 3} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \]
Шаг 8. Находим площадь \( S \)
Используем формулу с векторным произведением:
\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \]
- \( \vec{AB} = (10 - 0, 0 - 0) = (10, 0) \),
- \( \vec{AC} = (-5 - 10, 5 \sqrt{3} - 0) = (-15, 5 \sqrt{3}) \).
Производим векторное произведение (для плоскости):
\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = |(10)(5 \sqrt{3}) - (0)(-15)| = 10 \times 5 \sqrt{3} = 50 \sqrt{3} \]
Тогда площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \times 50 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3} \]
Шаг 9. Находим радиус окружности \( R \)
Подставляем в формулу:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где:
- \( a = BC = 10 \),
- \( b = AC = 10 \sqrt{3} \),
- \( c = AB = 10 \).
Вычисление:
\[ R = \frac{10 \times 10 \sqrt{3} \times 10}{4 \times 25 \sqrt{3}} \]
\[ R = \frac{10 \times 10 \sqrt{3} \times 10}{4 \times 25 \sqrt{3}} = \frac{1000 \sqrt{3}}{100 \sqrt{3}} = 10 \]
Ответ:
Диаметр окружности — это удвоенный радиус:
\[ D = 2R = 2 \times 10 = \boxed{20 \text{ см}} \]
Если есть еще вопросы или нужно более подробнее по какому-либо шагу, скажите!
