Известно, что среди 53 собранных семьёй грибов 16 белых. Мама наугад достаёт из корзинки 4 гриба. Найди вероятность того, что среди них хотя бы один окажется белым.
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Общее число собранных грибов: \( N = 53 \)
- Количество белых грибов: \( B = 16 \)
- Остальные грибы: \( N - B = 53 - 16 = 37 \)
- Мама достает из корзинки 4 гриба. Обозначим это число как \( k = 4 \)
Что нужно найти:
Вероятность того, что среди выбранных хотя бы один гриб белый.
Обозначим событие:
- \( A \) — среди выбранных грибов есть хотя бы один белый.
Проще всего найти вероятность противоположного события — что все выбранные грибы окажутся не белыми, и затем вычесть её из 1:
\[ P(A) = 1 - P(\text{нет белых в выбранных}) \]
Шаг 1: Найти вероятность того, что все 4 выбранных гриба — не белые
Это значит, что все 4 гриба выбранные из 37 не белых.
Объем совокупности — все возможные способы выбрать 4 гриба из 53.
Количество способов выбрать 4 гриба из всех 53:
\[ C_{53}^{4} \]
Количество способов выбрать 4 гриба из не белых (37):
\[ C_{37}^{4} \]
Тогда вероятность, что все 4 — не белые:
\[ P(\text{нет белых}) = \frac{C_{37}^{4}}{C_{53}^{4}} \]
Шаг 2: Вычислим значение
- Вычислим \( C_{53}^{4} \):
\[ C_{53}^{4} = \frac{53!}{4!(53-4)!} = \frac{53 \times 52 \times 51 \times 50}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
Посчитаем:
\[ = \frac{53 \times 52 \times 51 \times 50}{24} \]
В числителе:
\[ 53 \times 52 = 2756 \\ 2756 \times 51 = 140556 \\ 140556 \times 50 = 7027800 \]
Итак:
\[ C_{53}^{4} = \frac{7027800}{24} = 293658.33 \]
Но лучше оставить в виде дроби или использовать точные вычисления. Для точных значений возьмем числовое значение.
- Вычислим \( C_{37}^{4} \):
\[ C_{37}^{4} = \frac{37 \times 36 \times 35 \times 34}{24} \]
Посчитаем:
\[ 37 \times 36 = 1332 \\ 1332 \times 35 = 46620 \\ 46620 \times 34 = 1585080 \]
Тогда:
\[ C_{37}^{4} = \frac{1585080}{24} = 66045 \]
Шаг 3: Посчитаем вероятность
Вероятность, что все 4 — не белые:
\[ P(\text{нет белых}) = \frac{C_{37}^{4}}{C_{53}^{4}} \approx \frac{66045}{\text{число } C_{53}^{4}} \]
Используя полученные значения:
\[ C_{53}^{4} \approx 293658 \]
Итого:
\[ P(\text{нет белых}) \approx \frac{66045}{293658} \approx 0.2248 \]
Шаг 4: Найти вероятность того, что хотя бы один — белый
\[ P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - P(\text{нет белых}) \approx 1 - 0.2248 = 0.7752 \]
Итог:
Вероятность, что среди выбранных 4 грибов хотя бы один окажется белым — примерно 77.52%.
Если нужно точное дробное значение, можно оставить в виде:
\[ P \approx 1 - \frac{C_{37}^{4}}{C_{53}^{4}} \approx 1 - \frac{66045}{293658} \]
