Давайте разберём задачу, которая выглядит так:
"Вычислите ( 3 \arctg \sqrt{3} - 8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} )".
Для этого потребуется вспомнить свойства арктангенса и арккосинуса, а также знать их значения для некоторых чисел.
Шаг 1: Вычисление ( \arctg \sqrt{3} )
Известно, что
[
\arctg x = y \quad \text{таким образом, что} \quad \tan y = x
]
Находим угол ( y ), для которого (\tan y = \sqrt{3}).
Из тригонометрии знаем:
[
\tan 60^\circ = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}
]
Следовательно,
[
\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}
]
Шаг 2: Вычисление ( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} )
По определению,
[
\arccos x = z \quad \text{такое, что} \quad \cos z = x
]
и ( z \in [0, \pi] ).
Известно, что:
[
\cos 45^\circ = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Значит,
[
\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}
]
Шаг 3: Подставим полученные значения в исходное выражение
Произведем вычисление:
[
3 \arctg \sqrt{3} - 8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \times \frac{\pi}{3} - 8 \times \frac{\pi}{4}
]
Упростим:
[
= \pi - 8 \times \frac{\pi}{4}
]
[
= \pi - 2 \pi
]
[
= - \pi
]
Ответ:
[
\boxed{-\pi}
]
Если нужно более подробное объяснение или помощь с любым другим вопросом — обращайтесь!
