вычислите 3 arctg √3-8 arccos=√2/2
Давайте разберём задачу, которая выглядит так:
"Вычислите \( 3 \arctg \sqrt{3} - 8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \)".
Для этого потребуется вспомнить свойства арктангенса и арккосинуса, а также знать их значения для некоторых чисел.
Шаг 1: Вычисление \( \arctg \sqrt{3} \)
Известно, что
\[
\arctg x = y \quad \text{таким образом, что} \quad \tan y = x
\]
Находим угол \( y \), для которого \(\tan y = \sqrt{3}\).
Из тригонометрии знаем: \[ \tan 60^\circ = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \]
Следовательно, \[ \arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \]
Шаг 2: Вычисление \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \)
По определению,
\[
\arccos x = z \quad \text{такое, что} \quad \cos z = x
\]
и \( z \in [0, \pi] \).
Известно, что:
\[
\cos 45^\circ = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Значит,
\[
\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}
\]
Шаг 3: Подставим полученные значения в исходное выражение
Произведем вычисление:
\[ 3 \arctg \sqrt{3} - 8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \times \frac{\pi}{3} - 8 \times \frac{\pi}{4} \]
Упростим:
\[ = \pi - 8 \times \frac{\pi}{4} \]
\[ = \pi - 2 \pi \]
\[ = - \pi \]
Ответ:
\[ \boxed{-\pi} \]
Если нужно более подробное объяснение или помощь с любым другим вопросом — обращайтесь!
