Основание Н высоты прямоугольного треугольника делит гипотенузу AB на отрезки, отношение которых 1:4. Найдите площадь этого треугольника, если AB=25

Давайте подробно разберём задачу: **Дано:** - Прямоугольный треугольник с гипотенузой AB длиной 25. - Высота, проведённая из этого основания (вероятно, высота, проведённая из прямого угла), делит гипотенузу AB на отрезки в отношении 1:4. Нам нужно найти площадь этого треугольника. --- ### Шаг 1: Обозначим переменные Обозначим: - \( A \) и \( B \) — точки на гипотенузе. - \( H \) — вершина, где проведена высота из прямого угла (на всякий случай уточним: в треугольнике \( ABC \), где \( C \ — прямой угол, а \( AB \) — гипотенуза). - Пусть \( D \) — точка деления гипотенузы \( AB \), на которую делит высота \( CH \). Дано: - \( AB = 25 \) - Отрезки \( AD : DB = 1 : 4 \) --- ### Шаг 2: Определим длины отрезков \( AD \) и \( DB \) Обозначим: - \( AD = x \) - Тогда \( DB = 4x \) Всего: \[ AD + DB = AB \implies x + 4x = 25 \implies 5x = 25 \implies x = 5 \] Следовательно: \[ AD = 5, \quad DB = 20 \] --- ### Шаг 3: Связь между высотой и делением гипотенузы В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла \( C \), делит гипотенузу \( AB \) на два отрезка \( AD \) и \( DB \), и имеет важное свойство: **Высота из прямого угла делит гипотенузу на два равных отрезка и образует два подобных треугольника, равных между собой.** Но конкретнее, **все три треугольника**: - \( \triangle AHC \) - \( \triangle CHB \) - \( \triangle ABC \) этим свойством связаны: \[ HC^2 = AD \times DB \] где \( H \) — точка на гипотенузе \( AB \), откуда проведена высота \( CH \), и эта высота делит гипотенузу на \( AD \) и \( DB \). *Обратите внимание:* в условии написано, что "основание Н (Вероятно, высота) делит гипотенузу на отрезки 1:4". В этом случае, высота является точкой деления гипотенузы, и делит её на отрезки в отношении 1:4. **Поэтому:** \[ HC^2 = AD \times DB = 5 \times 20 = 100 \] \[ HC = \sqrt{100} = 10 \] --- ### Шаг 4: Найдём высоту и стороны треугольника Теперь у нас есть длина высоты \( CH = 10 \). Для поиска площади нужно знать высоту и основания, или стороны. Пусть \( AC \) и \( BC \) — стороны треугольника. Знаем: - \( AB = 25 \) - Высота \( CH \) из \( C \) делит гипотенузу на \( 5 \) и \( 20 \) - Высота \( CH \) из \( C \) на гипотенузу По свойству прямоугольных треугольников: \[ \text{Площадь } S = \frac{1}{2} \times \text{гипотенуза} \times \text{высота} \] Значит, \[ S = \frac{1}{2} \times 25 \times 10 = \frac{1}{2} \times 250 = 125 \] --- ### **Ответ:** **Площадь данного прямоугольного треугольника равна \(\boxed{125}\).**