Давайте обозначим:
- (L) — длина каждого эскалатора.
- (v_e) — скорость движения эскалатора (одинаковая для обоих, вверх и вниз).
- (v_p) — собственная скорость человека относительно эскалатора (постоянная).
- (v_{p,\text{вверх}}) — реальная скорость человека при движении вверх относительно земли.
- (v_{p,\text{вниз}}) — реальная скорость человека при движении вниз относительно земли.
Шаг 1: Определим параметры для движения вверх по эскалатору
Когда человек стоит на эскалаторе, он движется со скоростью эскалатора (v_e).
Время, чтобы подняться по эскалатору длиной (L), равно 12 сек:
[
\text{При стоянии:} \quad v_e = \frac{L}{12}
]
Когда человек идет вверх по эскалатору со своей скоростью относительно него (v_p), его реальная скорость по земле:
[
v_{p,\text{вверх}} = v_e + v_p
]
Время для подъема по эскалатору длиной (L):
[
t_{\text{вверх}} = \frac{L}{v_e + v_p} = 12
]
Следовательно:
[
L = 12(v_e + v_p)
]
Шаг 2: Определим параметры для движения вниз по эскалатору
Когда человек идет вниз по эскалатору, который также движется вниз со скоростью (v_e), его собственная скорость относительно эскалатора — (v_p), но относительно земли —
[
v_{p,\text{вниз}} = v_e + v_p
]
Тем не менее, при движении вниз по эскалатору со скоростью (v_p) относительно эскалатора, реальная скорость относительно земли:
[
v_{земля,\text{вниз}} = v_e + v_p
]
Обратите внимание, что при движении вниз по движущемуся вниз эскалатору, время:
[
t_{\text{вниз}} = \frac{L}{v_e - v_p}
]
Нам дана, что это время равно 8 секунд:
[
t_{\text{вниз}} = 8
]
Следовательно:
[
L = 8(v_e - v_p)
]
Шаг 3: Получим систему уравнений
Имеем два выражения для (L):
[
L = 12(v_e + v_p)
]
[
L = 8(v_e - v_p)
]
Приравниваем:
[
12(v_e + v_p) = 8(v_e - v_p)
]
Раскроем скобки:
[
12v_e + 12v_p = 8v_e - 8v_p
]
Перенесем все члены с (v_p) в одну сторону, а с (v_e) — в другую:
[
12v_e - 8v_e = -8v_p - 12v_p
]
[
4v_e = -20v_p
]
Отсюда:
[
v_p = -\frac{4v_e}{20} = -\frac{v_e}{5}
]
Знак минус говорит о том, что собственная скорость человека против направления движения вверх, то есть человек движется вверх со скоростью меньшей, чем скорость эскалатора, или, что то же, — он идет против потока (или имеет отрицательную собственную скорость относительно эскалатора при движении вверх).
Шаг 4: Найдём длину (L)
Используем любое выражение для (L):
[
L = 12(v_e + v_p)
]
Подставим (v_p = -\frac{v_e}{5}):
[
L = 12 \left( v_e - \frac{v_e}{5} \right) = 12 \left( \frac{5v_e}{5} - \frac{v_e}{5} \right) = 12 \cdot \frac{4v_e}{5} = \frac{48}{5} v_e
]
Шаг 5: Найдём время подъёма по неподвижному эскалатору
Теперь нужно найти время, чтобы подняться по неподвижному эскалатору длиной (L), при скорости человека (v_p):
- Если эскалатор неподвижен ((v_e = 0)), то реальная скорость человека:
[
v_{чел} = v_p
]
Значит, время:
[
t = \frac{L}{v_p}
]
Подставим (L = \frac{48}{5} v_e) и (v_p = -\frac{v_e}{5}):
[
t = \frac{\frac{48}{5} v_e}{-\frac{v_e}{5}} = \frac{\frac{48}{5} v_e}{-\frac{v_e}{5}} = \frac{48}{5} v_e \times \left(- \frac{5}{v_e}\right) = -48
]
Знак минус указывает на направление, а время — это величина абсолютная, поэтому рассматриваем его как абсолютное значение:
[
t = 48 \text{ секунд}
]
Ответ:
Человек потратил бы 48 секунд, поднимаясь по неподвижному эскалатору вверх.
