Толя загадал натуральное число п и выписал на доску все натуральные числа от 1 до п. Затем он попытался сложить все выписанные числа и получил число 960, однако выяснилось, что…

Рассмотрим задачу подробнее и пошагово.

Дано:

• Толя выписал все натуральные числа от 1 до p.
• Он посчитал сумму этих чисел и получил 960.
• Однако при этом он случайно добавил одно число дважды, то есть сумма c равна 960, а на самом деле сумма всех чисел от 1 до p должна быть равна c минус это добавленное число (которое он посчитал дважды).

Обозначим:

• \( S = \) сумма чисел от 1 до p
• \( x = \) число, которое он посчитал дважды

Тогда по условию: \[ S + x = 960 \] Также известно, что: \[ S = \frac{p(p+1)}{2} \] следовательно: \[ \frac{p(p+1)}{2} + x = 960 \] И, поскольку он случайно добавил число \( x \) дважды, то сумма фактически должна была быть равна: \[ 960 - x \]

Поскольку \( x \) было одним из чисел, оно проверяется в диапазоне: \[ 1 \leq x \leq p \] (Потому что именно такие числа он выписывал).

Также, \( S \) — сумма чисел от 1 до \( p \), и должна быть меньше или равна 960, потому что сумма с добавленным числом \( x \) равна 960.

Теперь выразим \( p \): \[ p(p+1)/2 = 960 - x \]

Поскольку \( p(p+1)/2 \) — целое число, и \( 1 \leq x \leq p \), то можем перебрать возможные значения \( p \).

---

Решение (поиск подходящих \( p \) и \( x \)):

№1: Перебираем целые \( p \), начиная с приблизительно 1.

Условие: \[ \frac{p(p+1)}{2} \leq 960 \] Найдем верхнюю границу:

\[ p(p+1) \leq 1920 \]

Приблизительно \( p^2 \leq 1920 \), тогда \( p \leq \sqrt{1920} \approx 43.8 \).

Значит, перебираем \( p \) от 1 до 44.

Для каждого \( p \):

1. Вычисляем сумму \( S = p(p+1)/2 \).
2. Находим \( x = 960 - S \).
3. Проверяем, что \( x \) — целое число и \( 1 \leq x \leq p \).

---

Перебор по шагам:

Для p = 1:
\( S = 1(2)/2 = 1 \)
\( x = 960 - 1 = 959 \)
Но \( x = 959 \), а \( p = 1 \), и \( x \not\leq p \), не подходит.

p = 2:
\( S = 2(3)/2=3 \)
\( x=960-3=957 \), не подходит, так как \( 957 > 2 \).

---

Продолжаем до тех пор, пока не обнаружим подходящие значения.

---

Python-скрипт для быстрого перебора (можно использовать в уме или на бумаге):

for p in range(1, 45):
    S = p * (p + 1) // 2
    x = 960 - S
    if 1 <= x <= p:
        print(f'p = {p}, x = {x}')

Находим подходящие варианта:

Рассмотрим результаты вручную:

p	S = p(p+1)/2	x = 960 - S	Проверка x	Условие x ≤ p?
43	43 * 44 / 2 = 946	960 - 946 = 14	14 ≤ 43	Да
42	42 * 43 / 2 = 903	960 - 903 = 57	57 ≤ 42? Нет	—
41	41 * 42 / 2 = 861	960 - 861 = 99	99 ≤ 41? Нет	—
40	40 * 41 / 2 = 820	960 - 820 = 140	140 ≤ 40? Нет	—
39	39 * 40 / 2 = 780	960 - 780 = 180	180 ≤ 39? Нет	—
38	38 * 39 / 2=741	960-741=219	219 ≤ 38? Нет	—
37	37 * 38 / 2=703	960-703=257	Нет	—
36	36 * 37 / 2=666	960-666=294	Нет	—
35	35 * 36 / 2=630	960-630=330	Нет	—
34	34 * 35 / 2=595	960-595=365	Нет	—

Проверим еще:

p	S	x	x ≤ p?
43	946	14	Да

Да, для p=43, x=14 — удовлетворяет условию.

---

Проверим еще:

p = 1: \( S=1, x=959 \), не подходит
p = 2: \( S=3, x=957 \), не подходит
p=43: \( S=946, x=14 \), подходит
p=44: \( S=44*45/2=990 \)
\( x=960-990 = -30 \), не подходит (отрицательное)

---

Итог:

Единственное подходящее p — 43, при котором \( x=14 \).

Проверка:

• сумма чисел от 1 до 43 равна 946.
• он посчитал сумму как 960, ошибочно добавив число 14 дважды.
• \( S + x = 946 + 14 = 960 \).
• число 14 — входит в диапазон 1..43.

---

Ит wanneer:

Ответ: \( \boxed{43} \)

---

Если вопросы или требуется пояснение, я с радостью помогу!