Из города Р в город К одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль прошел весь путь с постоянной скоростью, а второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую — со скоростью на 18 км/ч больше скорости первого автомобиля. В результате автомобили прибыли в город К одновременно. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ запишите в км/ч.

Дано условие, что два автомобиля выехали из города Р в город К одновременно и прибыли одновременно. Первый автомобиль ехал со скоростью постоянной, а второй — меняя скорость на середине пути. Нужно найти скорость первого автомобиля. Обозначим: - \( S \) — полный путь (км), - \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч), - \( v_2 \) — скорость второго автомобиля для второго участка (км/ч), - \( t_1 \) — время, за которое проехал первый автомобиль, - \( t_{2_1} \) — время, за которое второй автомобиль проехал первую половину пути, - \( t_{2_2} \) — время, за которое второй автомобиль проехал вторую половину пути. Из условия: - Первый автомобиль ехал со скоростью \( v_1 \) на всё пути \( S \). - Второй автомобиль: первую половину пути \( \frac{S}{2} \) со скоростью 27 км/ч, вторую — со скоростью \( v_1 + 18 \) км/ч. - Оба автомобиля прибыли одновременно, значит время их в пути одинаковое: \( t \). --- ### Шаг 1: Запишем время первого автомобиля \[ t = \frac{S}{v_1} \] --- ### Шаг 2: Запишем время второго автомобиля \[ t_{2_1} = \frac{\frac{S}{2}}{27} = \frac{S}{2 \times 27} = \frac{S}{54} \] \[ t_{2_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 18} = \frac{S}{2(v_1 + 18)} \] Полное время второго автомобиля: \[ t = t_{2_1} + t_{2_2} = \frac{S}{54} + \frac{S}{2(v_1 + 18)} \] --- ### Шаг 3: Приравниваем времена \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{54} + \frac{S}{2(v_1 + 18)} \] Сократим на \( S \): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(v_1 + 18)} \] --- ### Шаг 4: Решим уравнение Обозначим \( V = v_1 \), тогда: \[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \] Общий знаменатель: \( 54 \times 2(V+18) \). Перепишем: \[ \frac{1}{V} = \frac{2(V+18)}{54 \times 2(V+18)} + \frac{54}{54 \times 2(V+18)} \] Но проще — упростим левое и правое выражения по отдельности, а затем решим уравнение. Перенесем все в левую сторону: \[ \frac{1}{V} - \frac{1}{54} - \frac{1}{2(V+18)} = 0 \] Найдем общий знаменатель — \( 2V \times 54 \times (V+18) \) — или проще, выразим по частям. --- ### Шаг 5: Приведем к общему знаменателю Общий знаменатель: \( 2V \times 54 \times (V+18) \) - Первое слагаемое: \( \frac{1}{V} \) — умножим числитель и знаменатель на \( 2 \times 54 \times (V+18) \) - Второе слагаемое: \( \frac{1}{54} \) — умножим на \( 2V \times (V+18) \) - Третье: \( \frac{1}{2(V+18)} \) — умножим на \( V \times 54 \) После приведения, можно переписать уравнение, но есть более простой способ — найти общие denominаторы и избавиться от дробей. --- ### Шаг 6: Упростим уравнение Из исходного: \[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \] найдём общее выражение: \[ \frac{1}{V} - \frac{1}{54} = \frac{1}{2(V + 18)} \] Левую часть объединяем: \[ \frac{54 - V}{54V} = \frac{1}{2(V + 18)} \] Теперь уравнение: \[ \frac{54 - V}{54V} = \frac{1}{2(V + 18)} \] Перемножим крест-накрест: \[ (54 - V) \times 2(V + 18) = 54V \] Раскроем скобки с левой стороны: \[ 2(54 - V)(V + 18) = 54V \] --- ### Шаг 7: Раскроем скобки \[ 2 [(54)(V + 18) - V(V + 18)] = 54V \] Раскроем далее: \[ 2 [54V + 54 \times 18 - V^2 - 18V] = 54V \] Заменим \( 54 \times 18 \): \[ 54 \times 18 = 972 \] Итак: \[ 2 [54V + 972 - V^2 - 18V] = 54V \] Складываем внутри скобок: \[ 2 [(54V - 18V) + 972 - V^2] = 54V \] \[ 2 [36V + 972 - V^2] = 54V \] Раскроем: \[ 2 \times 36V + 2 \times 972 - 2V^2 = 54V \] \[ 72V + 1944 - 2V^2 = 54V \] Перенесем все в левую сторону: \[ 72V - 54V + 1944 - 2V^2 = 0 \] \[ 18V + 1944 - 2V^2 = 0 \] Обратим уравнение в стандартную форму квадратичного уравнения: \[ -2V^2 + 18V + 1944 = 0 \] Поделим всё на -2 для удобства: \[ V^2 - 9V - 972 = 0 \] --- ### Шаг 8: Решим квадратное уравнение Квадратное уравнение: \[ V^2 - 9V - 972 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \times 1 \times (-972) = 81 + 3888 = 3969 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{3969} = 63 \] Найдем корни: \[ V = \frac{9 \pm 63}{2} \] Первый корень: \[ V = \frac{9 + 63}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] Второй корень: \[ V = \frac{9 - 63}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \] Скорость не может быть отрицательной, значит, приемлемое значение: \[ v_1 = 36 \text{ км/ч} \] --- ### **Ответ:** **Скорость первого автомобиля — \(\boxed{36}\) км/ч.**