Из города Р в город К одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль прошел весь путь с постоянной скоростью, а второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а…

Дано условие, что два автомобиля выехали из города Р в город К одновременно и прибыли одновременно. Первый автомобиль ехал со скоростью постоянной, а второй — меняя скорость на середине пути. Нужно найти скорость первого автомобиля.

Обозначим:

• \( S \) — полный путь (км),
• \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч),
• \( v_2 \) — скорость второго автомобиля для второго участка (км/ч),
• \( t_1 \) — время, за которое проехал первый автомобиль,
• \( t_{2_1} \) — время, за которое второй автомобиль проехал первую половину пути,
• \( t_{2_2} \) — время, за которое второй автомобиль проехал вторую половину пути.

Из условия:

• Первый автомобиль ехал со скоростью \( v_1 \) на всё пути \( S \).
• Второй автомобиль: первую половину пути \( \frac{S}{2} \) со скоростью 27 км/ч, вторую — со скоростью \( v_1 + 18 \) км/ч.
• Оба автомобиля прибыли одновременно, значит время их в пути одинаковое: \( t \).

---

Шаг 1: Запишем время первого автомобиля

\[ t = \frac{S}{v_1} \]

---

Шаг 2: Запишем время второго автомобиля

\[ t_{2_1} = \frac{\frac{S}{2}}{27} = \frac{S}{2 \times 27} = \frac{S}{54} \]

\[ t_{2_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 18} = \frac{S}{2(v_1 + 18)} \]

Полное время второго автомобиля:

\[ t = t_{2_1} + t_{2_2} = \frac{S}{54} + \frac{S}{2(v_1 + 18)} \]

---

Шаг 3: Приравниваем времена

\[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{54} + \frac{S}{2(v_1 + 18)} \]

Сократим на \( S \):

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(v_1 + 18)} \]

---

Шаг 4: Решим уравнение

Обозначим \( V = v_1 \), тогда:

\[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \]

Общий знаменатель: \( 54 \times 2(V+18) \). Перепишем:

\[ \frac{1}{V} = \frac{2(V+18)}{54 \times 2(V+18)} + \frac{54}{54 \times 2(V+18)} \]

Но проще — упростим левое и правое выражения по отдельности, а затем решим уравнение.

Перенесем все в левую сторону:

\[ \frac{1}{V} - \frac{1}{54} - \frac{1}{2(V+18)} = 0 \]

Найдем общий знаменатель — \( 2V \times 54 \times (V+18) \) — или проще, выразим по частям.

---

Шаг 5: Приведем к общему знаменателю

Общий знаменатель: \( 2V \times 54 \times (V+18) \)

• Первое слагаемое: \( \frac{1}{V} \) — умножим числитель и знаменатель на \( 2 \times 54 \times (V+18) \)
• Второе слагаемое: \( \frac{1}{54} \) — умножим на \( 2V \times (V+18) \)
• Третье: \( \frac{1}{2(V+18)} \) — умножим на \( V \times 54 \)

После приведения, можно переписать уравнение, но есть более простой способ — найти общие denominаторы и избавиться от дробей.

---

Шаг 6: Упростим уравнение

Из исходного:

\[ \frac{1}{V} = \frac{1}{54} + \frac{1}{2(V + 18)} \]

найдём общее выражение:

\[ \frac{1}{V} - \frac{1}{54} = \frac{1}{2(V + 18)} \]

Левую часть объединяем:

\[ \frac{54 - V}{54V} = \frac{1}{2(V + 18)} \]

Теперь уравнение:

\[ \frac{54 - V}{54V} = \frac{1}{2(V + 18)} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ (54 - V) \times 2(V + 18) = 54V \]

Раскроем скобки с левой стороны:

\[ 2(54 - V)(V + 18) = 54V \]

---

Шаг 7: Раскроем скобки

\[ 2 [(54)(V + 18) - V(V + 18)] = 54V \]

Раскроем далее:

\[ 2 [54V + 54 \times 18 - V^2 - 18V] = 54V \]

Заменим \( 54 \times 18 \):

\[ 54 \times 18 = 972 \]

Итак:

\[ 2 [54V + 972 - V^2 - 18V] = 54V \]

Складываем внутри скобок:

\[ 2 [(54V - 18V) + 972 - V^2] = 54V \]

\[ 2 [36V + 972 - V^2] = 54V \]

Раскроем:

\[ 2 \times 36V + 2 \times 972 - 2V^2 = 54V \]

\[ 72V + 1944 - 2V^2 = 54V \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 72V - 54V + 1944 - 2V^2 = 0 \]

\[ 18V + 1944 - 2V^2 = 0 \]

Обратим уравнение в стандартную форму квадратичного уравнения:

\[ -2V^2 + 18V + 1944 = 0 \]

Поделим всё на -2 для удобства:

\[ V^2 - 9V - 972 = 0 \]

---

Шаг 8: Решим квадратное уравнение

Квадратное уравнение:

\[ V^2 - 9V - 972 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \times 1 \times (-972) = 81 + 3888 = 3969 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{3969} = 63 \]

Найдем корни:

\[ V = \frac{9 \pm 63}{2} \]

Первый корень:

\[ V = \frac{9 + 63}{2} = \frac{72}{2} = 36 \]

Второй корень:

\[ V = \frac{9 - 63}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \]

Скорость не может быть отрицательной, значит, приемлемое значение:

\[ v_1 = 36 \text{ км/ч} \]

---

Ответ:

Скорость первого автомобиля — \(\boxed{36}\) км/ч.