Al. В выпуклом четырехугольнике ABCD, точки O, R, P, K - середины сторон CD, DA, AВ, BC соответственно, AC BD. Определите вид четырехугольника ORPK. 1) прямоугольная трапеция 2) прямоугольник 3) равнобедренная трапеция 4) ромб, не являющийся квадратом

Давайте подробно разберемся с поставленной задачей. **Дано:** - Четырехугольник \( ABCD \), выпуклый. - \( O \), \( R \), \( P \), \( K \) — середины сторон: - \( O \) — середина \( CD \) - \( R \) — середина \( DA \) - \( P \) — середина \( AB \) - \( K \) — середина \( BC \) Также известно, что точки \( O, R, P, K \) — середины сторон \( CD, DA, AB, BC \) соответственно. **Задача:** определить вид четырехугольника \( ORPK \). --- ### Шаг 1. Построение и обозначение Рассмотрим стороны: - \( CD \) - \( DA \) - \( AB \) - \( BC \) Точки: - \( O \) — середина \( CD \) - \( R \) — середина \( DA \) - \( P \) — середина \( AB \) - \( K \) — середина \( BC \) --- ### Шаг 2. Использование формулы для середины стороны Обозначим координаты точек: - \( A(x_A, y_A) \) - \( B(x_B, y_B) \) - \( C(x_C, y_C) \) - \( D(x_D, y_D) \) Тогда: - \( O \) — середина \( CD \): \[ O = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \] - \( R \) — середина \( DA \): \[ R = \left(\frac{x_D + x_A}{2}, \frac{y_D + y_A}{2}\right) \] - \( P \) — середина \( AB \): \[ P = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \] - \( K \) — середина \( BC \): \[ K = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \] --- ### Шаг 3. Найдем координаты точек \( O, R, P, K \) Чтобы понять, как выглядит четырехугольник \( ORPK \), достаточно найти векторные разности между его сторонами и проверить их длины и углы. --- ### Шаг 4. Рассмотрим вектор \( \vec{OR} \) и \( \vec{PK} \) - \( \vec{OR} = R - O \): \[ \left( \frac{x_D + x_A}{2} - \frac{x_C + x_D}{2}, \quad \frac{y_D + y_A}{2} - \frac{y_C + y_D}{2} \right) = \left( \frac{x_A - x_C}{2}, \frac{y_A - y_C}{2} \right) \] - \( \vec{PK} = K - P \): \[ \left( \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \quad \frac{y_B + y_C}{2} - \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{x_C - x_A}{2}, \frac{y_C - y_A}{2} \right) \] Обратите внимание, что: \[ \vec{OR} = \left(\frac{x_A - x_C}{2}, \frac{y_A - y_C}{2}\right), \quad \vec{PK} = \left(\frac{x_C - x_A}{2}, \frac{y_C - y_A}{2}\right) \] То есть: \[ \vec{OR} = - \vec{PK} \] Это означает, что стороны \( OR \) и \( PK \) равны по длине и параллельны, так как они являются векторами противоположных направлений. --- ### Шаг 5. Аналогично найдем \( \vec{OP} \) и \( \vec{RK} \) - \( \vec{OP} = P - O \): \[ \left( \frac{x_A + x_B}{2} - \frac{x_C + x_D}{2}, \quad \frac{y_A + y_B}{2} - \frac{y_C + y_D}{2} \right) = \left( \frac{x_A + x_B - x_C - x_D}{2}, \frac{y_A + y_B - y_C - y_D}{2} \right) \] - \( \vec{RK} = K - R \): \[ \left( \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}, \quad \frac{y_B + y_C}{2} - \frac{y_D + y_A}{2} \right) = \left( \frac{x_B + x_C - x_D - x_A}{2}, \frac{y_B + y_C - y_D - y_A}{2} \right) \] Заметно, что: \[ \vec{RK} = \left( \frac{x_B + x_C - x_D - x_A}{2}, \frac{y_B + y_C - y_D - y_A}{2} \right) \] А \[ \vec{OP} = \left( \frac{x_A + x_B - x_C - x_D}{2}, \frac{y_A + y_B - y_C - y_D}{2} \right) \] Обратим внимание, что: \[ x_A + x_B - x_C - x_D = - (x_C + x_D - x_A - x_B) \] Тоже самое с компонентами. Это говорит, что: \[ \vec{OP} = - \vec{RK} \] следовательно, стороны \( OP \) и \( RK \) равны по длине, параллельны, и противоположны. --- ### **Вывод:** - \( OR \) и \( PK \) — противоположные стороны, равны по длине и параллельны. - \( OP \) и \( RK \) — противоположные стороны, равны по длине и параллельны. Это — **парные стороны** четырехугольника \( ORPK \), и все стороны попарно параллельны. --- ### **Заключение:** Поскольку все противолежащие стороны равны и параллельны, то \( ORPK \) — **прямой параллелограмм**. Кратко: **Ответ: \( ORPK \) — это прямоугольник (параллелограмм, у которого противоположные стороны равны и параллельны).** --- ### Итоговая ответ: **2) прямоугольник**.