У бабушки есть двое часов, но одни отстают на 5 минут каждый час, а другие убегают вперёд на 5 минут каждый час. Однажды Петя в воскресенье в полдень (12:00) завёл все часы и…

Давайте внимательно разберемся с этой задачей.

1. Обозначим:

   • Время по правильным часам в момент наблюдения — \( T \) часов (в реальном времени).
   • Время по часам с отставанием — \( T_{slow} \).
   • Время по часам, убегающим вперёд — \( T_{fast} \).

2. Начальные условия:

   • В 12:00 в воскресенье все часы were установлены точно.
   • После этого время идет по реальному времени, а часы отстают или убегают относительно него.

3. За каждый час:

   • Первые часы (отстающие) показывают на 5 минут меньше по сравнению с реальностью.
   • Вторые часы (убегающие вперёд) показывают на 5 минут больше.

4. Время, прошедшее с 12:00:

   • Пусть прошло \( t \) часов с момента установки.

5. Как изменится время на часах после \( t \) часов:

   • Отстающие часы: \[ T_{slow} = t - \frac{5}{60} \times t = t - \frac{t}{12} \] потому что за каждый час они "теряют" 5 минут, что составляет \(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) часа.

   • Убегающие часы: \[ T_{fast} = t + \frac{t}{12} \] так как за каждый час они "опережают" на 5 минут.

6. В результате: \[ T_{slow} = t - \frac{t}{12} = \frac{12t - t}{12} = \frac{11t}{12} \] \[ T_{fast} = t + \frac{t}{12} = \frac{12t + t}{12} = \frac{13t}{12} \]

7. Условие: в какой-то момент времени разница между часами равна 5 часам: \[ T_{fast} - T_{slow} = 5 \text{ часов} \]

   Подставим выражения: \[ \frac{13t}{12} - \frac{11t}{12} = 5 \] \[ \frac{2t}{12} = 5 \] \[ \frac{t}{6} = 5 \] \[ t = 30 \]

8. Значит, через 30 часов после 12:00 часы показывали такую разницу.

9. Время, когда это случилось:

   • Время по реальному ходу — 30 часов после полудня воскресенья.

   Запишем в 24-часовом формате:

   \[ 12:00 + 30 \text{ часов} = 12:00 + 1 день + 6 часов = 24:00 + 6:00 \] Однако, так как сутки — 24 часа, добавим 1 день: \[ 12:00 воскресенья + 30 часов = 6:00 понедельника. \]

Ответ: 06:00.