Давайте аккуратно разберём задачу и найдём число n.
Условие:
- Толя выписал все натуральные числа от 1 до n.
- Он сложил эти числа и получил 880.
- Но при подсчёте он случайно добавил одно из чисел дважды.
- Нужно определить значение n.
Анализ задачи:
Пусть ( S ) — сумма чисел от 1 до n, а ( k ) — число, которое было добавлено дважды.
Тогда, потому что он добавил число дважды, сумма, которую он получил, равна:
[
S + k = 880
]
Известно, что сумма арифметической прогрессии от 1 до n равна:
[
S = \frac{n(n+1)}{2}
]
Следовательно,
[
\frac{n(n+1)}{2} + k = 880
]
Так как ( k ) — одно из чисел от 1 до n, то:
[
1 \leq k \leq n
]
Нам необходимо найти такие n и k, чтобы это равенство выполнялось.
Шаг 1: Перепишем уравнение:
[
k = 880 - \frac{n(n+1)}{2}
]
Так как ( k ) — число от 1 до n, попробуем для различных n найти допустимое ( k ).
Шаг 2: Перебор значений ( n ):
Поскольку сумма от 1 до n растёт примерно как ( n^2/2 ), для 880 крупное приближение:
[
\frac{n(n+1)}{2} \leq 880
]
умножая обе стороны на 2:
[
n(n+1) \leq 1760
]
И приблизительно:
[
n^2 + n - 1760 \leq 0
]
Решим это уравнение:
[
n^2 + n - 1760 = 0
]
Дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-1760) = 1 + 7040 = 7041
]
Корень:
[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{7041}}{2}
]
Поскольку ( n ) — натуральное число, берём положительный корень:
[
n \approx \frac{-1 + \sqrt{7041}}{2}
]
Приблизительно,
[
\sqrt{7041} \approx 83.9
]
Тогда
[
n \approx \frac{-1 + 83.9}{2} \approx \frac{82.9}{2} \approx 41.45
]
Значит, ( n ) — примерно 41 или 42.
Проверим для ( n=41 ) и ( n=42 ):
Шаг 3: Проверка для ( n=41 ):
[
S = \frac{41 \times 42}{2} = \frac{1722}{2} = 861
]
[
k = 880 - 861 = 19
]
Проверка: ( 1 \leq k \leq n ), то есть ( 1 \leq 19 \leq 41 ) — условие выполнено.
Ответ: ( n=41 ), а число, которое было добавлено дважды, — 19.
Итог:
Найдено, что ( n=41 ).
Если нужно, я могу дополнительно объяснить шаги или сделать проверки для других вариантов, но исходя из анализа, это решение — правильное.
Ответ: (\boxed{41})
