Имеются три партии деталей по 30 шт. в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 30, 25 и 20. Из произвольно выбран-ной партии…

Давайте разберем задачу пошагово и подробно.

Исходные данные:

• В первой партии: 30 деталей, из них стандартных — 30.
• Во второй партии: 30 деталей, из них стандартных — 25.
• В третьей партии: 30 деталей, из них стандартных — 20.

Процедура:

1. Наудачу выбирается партия.
2. Из выбранной партии извлекается деталь, которая оказывается стандартной.
3. Деталь возвращается в партию.
4. Из той же партии снова извлекается деталь, которая опять оказывается стандартной.

Нам нужно найти вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали были взяты из третьей партии.

Обозначим:

• \( P(A_1) \) — вероятность выбрать первую партию.
• \( P(A_2) \) — вероятность выбрать вторую партию.
• \( P(A_3) \) — вероятность выбрать третью партию.

Поскольку выбор партии происходит произвольно, предположим, что вероятность выбора каждой партии равна:

\[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \]

---

Шаг 1: Вероятности извлечения стандартной детали из каждой партии

Поскольку детали возвращаются после первой выборки, вероятность извлечения стандартной детали из партии остается постоянной.

• В первой партии: \( P(\text{стандартная} | A_1) = \frac{30}{30} = 1 \)
• Во второй партии: \( P(\text{стандартная} | A_2) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \)
• В третьей партии: \( P(\text{стандартная} | A_3) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)

---

Шаг 2: Вероятность того, что обе детали из выбранной партии оказались стандартными

Поскольку детали возвращаются, вероятности независимы, и вероятность того, что оба раза из одной и той же партии извлечена стандартная деталь, равна квадрату вероятности извлечения стандартной:

\[ P(\text{оба стандартные} | A_i) = \left( P(\text{стандартная} | A_i) \right)^2 \]

Т.е.:

• Для первой партии: \( 1^2 = 1 \)
• Для второй партии: \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \)
• Для третьей партии: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \)

---

Шаг 3: Использование формулы Байеса

Нам нужно найти вероятность, что оба извлечения были из третьей партии, при условии, что оба раза извлеченные детали оказались стандартными.

Обозначим это событие как \( B \):

\[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{P(\text{оба стандартные} | A_3) P(A_3)}{ \sum_{i=1}^3 P(\text{оба стандартные} | A_i) P(A_i) } \]

Подставляем значения:

\[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{\left(\frac{4}{9}\right) \times \frac{1}{3}}{\left( 1 \times \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{25}{36}\right) \times \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{9}\right) \times \frac{1}{3}} \]

В числителе:

\[ \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} \]

В знаменателе:

\[ \frac{1}{3} + \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \]

Посчитаем каждый слагаемый:

• \( \frac{1}{3} = \frac{12}{36} \)
• \( \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} = \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} = \frac{25}{108} \)
• \( \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} \)

Приведем все к общему знаменателю (например, 108):

• \( \frac{12}{36} = \frac{36}{108} \)
• \( \frac{25}{108} \) — уже с этим знаменателем
• \( \frac{4}{27} = \frac{16}{108} \)

Теперь сложим:

\[ \frac{36}{108} + \frac{25}{108} + \frac{16}{108} = \frac{77}{108} \]

Итак,

\[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{77}{108}} = \frac{\frac{4}{27}}{ \frac{77}{108} } = \frac{4}{27} \times \frac{108}{77} = \frac{4 \times 108}{27 \times 77} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{4 \times 108}{27 \times 77} = \frac{432}{2079} \]

Делим числитель и знаменатель на 3:

\[ \frac{432 \div 3}{2079 \div 3} = \frac{144}{693} \]

Делим снова на 3:

\[ \frac{144 \div 3}{693 \div 3} = \frac{48}{231} \]

Это несократимая дробь (так как 48 и 231 не имеют общих делителей больше 1).

Итак, окончательный ответ:

\[ \boxed{ P(\text{обе детали из третьей партии} \mid \text{оба стандартные}) = \frac{48}{231} \approx 0,2078 \quad \text{или} \quad 20,78\% } \]

---

Если нужно, я могу помочь с более коротким или более формальным изложением, или другими вопросами!