Имеются три партии деталей по 30 шт. в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 30, 25 и 20. Из произвольно выбран-ной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандарт-ной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Давайте разберем задачу пошагово и подробно. **Исходные данные:** - В первой партии: 30 деталей, из них стандартных — 30. - Во второй партии: 30 деталей, из них стандартных — 25. - В третьей партии: 30 деталей, из них стандартных — 20. **Процедура:** 1. Наудачу выбирается партия. 2. Из выбранной партии извлекается деталь, которая оказывается стандартной. 3. Деталь возвращается в партию. 4. Из той же партии снова извлекается деталь, которая опять оказывается стандартной. Нам нужно найти вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали были взяты из **третьей** партии. Обозначим: - \( P(A_1) \) — вероятность выбрать первую партию. - \( P(A_2) \) — вероятность выбрать вторую партию. - \( P(A_3) \) — вероятность выбрать третью партию. Поскольку выбор партии происходит произвольно, предположим, что вероятность выбора каждой партии равна: \[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \] --- ### Шаг 1: Вероятности извлечения стандартной детали из каждой партии Поскольку детали возвращаются после первой выборки, вероятность извлечения стандартной детали из партии остается постоянной. - В первой партии: \( P(\text{стандартная} | A_1) = \frac{30}{30} = 1 \) - Во второй партии: \( P(\text{стандартная} | A_2) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \) - В третьей партии: \( P(\text{стандартная} | A_3) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \) --- ### Шаг 2: Вероятность того, что обе детали из выбранной партии оказались стандартными Поскольку детали возвращаются, вероятности независимы, и вероятность того, что оба раза из одной и той же партии извлечена стандартная деталь, равна квадрату вероятности извлечения стандартной: \[ P(\text{оба стандартные} | A_i) = \left( P(\text{стандартная} | A_i) \right)^2 \] Т.е.: - Для первой партии: \( 1^2 = 1 \) - Для второй партии: \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \) - Для третьей партии: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \) --- ### Шаг 3: Использование формулы Байеса Нам нужно найти вероятность, что оба извлечения были из **третьей** партии, при условии, что оба раза извлеченные детали оказались стандартными. Обозначим это событие как \( B \): \[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{P(\text{оба стандартные} | A_3) P(A_3)}{ \sum_{i=1}^3 P(\text{оба стандартные} | A_i) P(A_i) } \] Подставляем значения: \[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{\left(\frac{4}{9}\right) \times \frac{1}{3}}{\left( 1 \times \frac{1}{3} \right) + \left(\frac{25}{36}\right) \times \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{9}\right) \times \frac{1}{3}} \] В числителе: \[ \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} \] В знаменателе: \[ \frac{1}{3} + \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \] Посчитаем каждый слагаемый: - \( \frac{1}{3} = \frac{12}{36} \) - \( \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} = \frac{25}{36} \times \frac{1}{3} = \frac{25}{108} \) - \( \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} \) Приведем все к общему знаменателю (например, 108): - \( \frac{12}{36} = \frac{36}{108} \) - \( \frac{25}{108} \) — уже с этим знаменателем - \( \frac{4}{27} = \frac{16}{108} \) Теперь сложим: \[ \frac{36}{108} + \frac{25}{108} + \frac{16}{108} = \frac{77}{108} \] Итак, \[ P(A_3 | \text{оба стандартные}) = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{77}{108}} = \frac{\frac{4}{27}}{ \frac{77}{108} } = \frac{4}{27} \times \frac{108}{77} = \frac{4 \times 108}{27 \times 77} \] Упростим дробь: \[ \frac{4 \times 108}{27 \times 77} = \frac{432}{2079} \] Делим числитель и знаменатель на 3: \[ \frac{432 \div 3}{2079 \div 3} = \frac{144}{693} \] Делим снова на 3: \[ \frac{144 \div 3}{693 \div 3} = \frac{48}{231} \] Это несократимая дробь (так как 48 и 231 не имеют общих делителей больше 1). **Итак, окончательный ответ:** \[ \boxed{ P(\text{обе детали из третьей партии} \mid \text{оба стандартные}) = \frac{48}{231} \approx 0,2078 \quad \text{или} \quad 20,78\% } \] --- Если нужно, я могу помочь с более коротким или более формальным изложением, или другими вопросами!