биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 4 см Найдите площадь треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначим его вершины как \(A\), \(B\), и \(C\), где угол \(C\) — прямой. Пусть гипотенуза \(AB\), а катеты \(AC\) и \(BC\).

Дано:

• Биссектриса прямого угла \(C\) делит гипотенузу \(AB\) на отрезки длиной 1 см и 4 см.

Обозначим:

• \(AC = x\),
• \(BC = y\),
• \(AB = c\).

На гипотенузе \(AB\), точка \(D\) — точка деления биссектрисой, где:

• \(AD = 1\) см,
• \(DB = 4\) см.

Тогда сумма: \(c = AD + DB = 5\) см.

Рассмотрим свойства биссектрисы прямого угла:

• В прямоугольном треугольнике, биссектриса прямого угла делит гипотенузу пропорционально длинам катетов:
  \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{y}. \]

Подставляем:
\[ \frac{1}{4} = \frac{x}{y} \Rightarrow y = 4x. \]

Так как \(AB = c = 5\) см, то по теореме Пифагора:
\[ x^2 + y^2 = c^2. \]

Подставляем \(y = 4x\):
\[ x^2 + (4x)^2 = 25, \] \[ x^2 + 16x^2 = 25, \] \[ 17x^2 = 25, \] \[ x^2 = \frac{25}{17}, \] \[ x = \frac{5}{\sqrt{17}}. \]

Тогда:
\[ y = 4x = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{17}} = \frac{20}{\sqrt{17}}. \]

Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times x \times y. \]

Подставляем найденные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times \frac{5}{\sqrt{17}} \times \frac{20}{\sqrt{17}}. \]

Перемножим:
\[ S = \frac{1}{2} \times \frac{5 \times 20}{(\sqrt{17})^2} = \frac{1}{2} \times \frac{100}{17}. \]

Итак:
\[ S = \frac{100}{34} = \frac{50}{17}. \]

Ответ:
Площадь треугольника равна \(\boxed{\frac{50}{17}}\) квадратных сантиметров.