Рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначим его вершины как (A), (B), и (C), где угол (C) — прямой. Пусть гипотенуза (AB), а катеты (AC) и (BC).
Дано:
- Биссектриса прямого угла (C) делит гипотенузу (AB) на отрезки длиной 1 см и 4 см.
Обозначим:
- (AC = x),
- (BC = y),
- (AB = c).
На гипотенузе (AB), точка (D) — точка деления биссектрисой, где:
- (AD = 1) см,
- (DB = 4) см.
Тогда сумма: (c = AD + DB = 5) см.
Рассмотрим свойства биссектрисы прямого угла:
- В прямоугольном треугольнике, биссектриса прямого угла делит гипотенузу пропорционально длинам катетов:
[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{x}{y}.
]
Подставляем:
[
\frac{1}{4} = \frac{x}{y} \Rightarrow y = 4x.
]
Так как (AB = c = 5) см, то по теореме Пифагора:
[
x^2 + y^2 = c^2.
]
Подставляем (y = 4x):
[
x^2 + (4x)^2 = 25,
]
[
x^2 + 16x^2 = 25,
]
[
17x^2 = 25,
]
[
x^2 = \frac{25}{17},
]
[
x = \frac{5}{\sqrt{17}}.
]
Тогда:
[
y = 4x = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{17}} = \frac{20}{\sqrt{17}}.
]
Площадь прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times x \times y.
]
Подставляем найденные значения:
[
S = \frac{1}{2} \times \frac{5}{\sqrt{17}} \times \frac{20}{\sqrt{17}}.
]
Перемножим:
[
S = \frac{1}{2} \times \frac{5 \times 20}{(\sqrt{17})^2} = \frac{1}{2} \times \frac{100}{17}.
]
Итак:
[
S = \frac{100}{34} = \frac{50}{17}.
]
Ответ:
Площадь треугольника равна (\boxed{\frac{50}{17}}) квадратных сантиметров.
