Реши уравнение
Давайте решим первое уравнение, которое на изображении:
\[ \frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - 1} = 0 \]
Шаг 1: Анализ уравнения
Делитель \(x^2 - 1\) можно представить как разность квадратов:
\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Важно помнить, что деление на ноль недопустимо, поэтому:
\[ x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1 \]
Шаг 2: Решение уравнения
Чтобы дробное уравнение было равно нулю, его числитель должен быть равен нулю (при условии, что делитель не равен нулю):
\[ 2x^2 + x - 1 = 0 \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Решим квадратичное уравнение:
\[ 2x^2 + x - 1 = 0 \]
Используем формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -1\).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \]
Поскольку \(\sqrt{9} = 3\), получаем два решения:
\[ x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Шаг 4: Проверка условий
Некоторые значения недопустимы (делитель равен нулю):
\[ x \neq 1, \quad x \neq -1 \]
Из найденных решений:
- \(x = \frac{1}{2}\): допустимо, так как не равен \(\pm 1\).
- \(x = -1\): недопустимо, потому что делитель равен нулю.
Ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{1}{2} } \]
Это единственное решение уравнения.
