Контрольная работа по темам "Множества” "Вероятность случайного события", "Введение в теорию графов" Вариант І 1. Монету бросают пять раз. Являются Ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Ответ объясните 2. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события М «на второй кости выпало больше двух Очков» и № «сумма очков равна семи»? Ответ объясните 3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите рисунок в тетрадь. а) Подпишите около рёбер недостающие вероятности б) Найдите вероятность события.А 4. Нарисуйте таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей Выделите в этой таблице цветными карандашами элементарные события, благоприятствующие событиям: А) на обеих костях выпало число очков меньшее, чем 3; Б) сумма очков на двух костях равна 7; В) произведение очков равно 12 5. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте на этом дереве «стрелок попал в мишень» и найдите его вероятность, если рероятность попадания при каждом рыстреле рариа: 1 а)0,46)0,8

Давайте по порядку разберем каждую задачу с подробными объяснениями. --- **Задача 1** *Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Объясните.* **Решение:** 1. Обозначим события более конкретно: - А: «Решка выпала более двух раз», то есть количество решек > 2, что равно 3, 4 или 5. - В: «Орел выпал более трёх раз», то есть количество орлов > 3, то есть 4 или 5. 2. Важно понять, что события А и В связаны: - В случае, когда орлов больше 3, это 4 или 5 орлов. - Значит, когда В наступает, количество орлов ≥ 4, а поскольку всего 5 бросков, количество решек = 5 - количество орлов. 3. Анализ: - Если В произошло (больше 3 орлов), то возможны случаи: - орлов = 4, и тогда решек = 1 - орлов = 5, и тогда решек = 0 - Тогда событие В не гарантирует, что решек > 2, потому что при орлов=4 решек=1, что **не** больше двух. - Аналогично, при орлов=5 решек=0, что не больше двух. 4. Следовательно: - Если В произошло, то количество решек ≤ 1, то есть событие А **не** наступает. - А: решек > 2, то есть при орлах ≤ 2. 5. Проверка: - А и В не могут случиться одновременно, потому что, при V (больше 3 орлов), А точно не происходит. **Ответ:** **Да, эти события являются противоположными, потому что:** - **А** — решек > 2 (то есть 3,4,5) - **В** — орлов > 3 (то есть 4,5) Так как при большом количестве орлов (больше 3) решек не могут быть >2, и наоборот, **они составляют противоположные события, если они исключают друг друга**. **Но нужно точнее проверить:** - А — решек > 2 → решек = 3,4,5 - В — орлов > 3 → орлов = 4,5 Обратим внимание, что эти события не взаимоисключающие, потому что возможен случай: - 2 решки и 3 орла — тогда А не наступает, В - не наступает. - 3 решки и 2 орла — тогда А наступает, В не. - 4 решки и 1 орёл — А наступает, В не. - 0 решек и 5 орлов — В наступает, А не. Итак, **они не являются противоположными**, потому что могут случаться одновременно и отдельно. **ИТОГ:** **Нет, события А и В не являются противоположными, потому что они не взаимоисключающие и вероятность их пересечения не равна нулю.** --- **Задача 2** *Игральную кость бросают дважды. Являются ли события М «на второй кости выпало больше двух очков» и № «сумма очков равна семи» независимыми? Объясните.* **Решение:** 1. Определим события: - М: «На второй кости больше двух очков», то есть 3,4,5,6. - №: «Сумма очков равна 7», то есть пары (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). 2. Всякое пространство элементарных событий (двойной бросок): - возможные исходы: (1,1), (1,2), ..., (6,6). 3. Посчитаем вероятности: - **P(M):** — на второй кости > 2 означает, что второй бросок — 3,4,5,6. — при равномерном распределении вероятность для второго броска: 4/6 = 2/3. — Итак, вероятность события М: \[ P(M) = \frac{\text{количество исходов, где второй бросок > 2}}{36} = \frac{4 \text{ вариантов для второго} \times 6 \text{ вариантов первого}}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \] - **P(№):** — сумма = 7 при следующих парностях: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). — всего 6 исходов. — вероятность: \[ P(\text{сумма}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] - **P(M ∩ №):** — ищем исходы, где: - сумма 7, - второй бросок > 2. Проверяем каждую пару из вышеперечисленных: - (1,6): второй — 6 > 2, входит - (2,5): 5 > 2 → входит - (3,4): 4 > 2 → входит - (4,3): 3 > 2 → входит - (5,2): 2 → не входит - (6,1): 1 → не входит Итого 4 исхода из 6, подходящих. Тогда: \[ P(M \cap №) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] 4. Проверим независимость: Если события M и № независимы, то: \[ P(M \cap №) = P(M) \times P(№) \] Подставим: \[ \frac{1}{9} ?= \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] **Равно!** **Ответ:** Да, эти события являются **независимыми**, потому что их совместная вероятность равна произведению вероятностей. --- **Задача 3** *На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите его в тетрадь, подпишите недостающие вероятности и найдите вероятность события А.* Так как изображение не предоставлено, предположим, что речь идет о дереве с ветвями, где у каждого узла указана вероятность события. Нужно узнать вероятности у ветвей и найти вероятность события А. **Общий подход:** - Перенести дерево на бумагу, обозначить вероятности ветвлений - Использовать правило умножения для нахождения вероятности пути - Сложить вероятности всех путей, ведущих к событию А Без конкретного рисунка дать более точный ответ невозможно, однако, схему и примерный ход решения можно привести. --- **Задача 4** *Нарисуйте таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите цветными карандашами элементарные события:* - а) обе кости показали число меньше 3 (то есть 1 или 2) - б) сумма очков равна 7 - в) произведение очков равно 12 **Решение:** 1. Таблица элементов: 6 x 6 (от 1 до 6 по каждой оси) | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----| | **1** | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) | | **2** | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) | | **3** | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) | | **4** | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | | **5** | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) | | **6** | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) | 2. Назначения: - а) обе кости < 3 → числа 1 или 2 - варианты: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) - б) сумма = 7 - варианты: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - в) произведение = 12 - варианты: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) 3. Выделите их цветом на таблице. --- **Задача 5** *Стрелок делает выстрел по мишени:* - Если он попал (вероятность p), то он больше не стреляет. - Если промахнулся (вероятность 1 – p), то делает еще один выстрел. Построение дерева и расчет вероятности: - Пусть p — вероятность попадания. **Дерево:** | Итер. | Событие | Вероятность | |--------|-------------------|------------------------------| | 1-й выстрел | Попал (p) | p | | | Промахнул (1 – p) | 1 – p | | 2-й выстрел (если промах) | Попал (p) | (1 – p) * p | | | Промахнул (1 – p) | (1 – p)^2 | **Общий расчет вероятности:** Вероятность попадания хотя бы в один выстрел: \[ P(\text{попал хотя бы один раз}) = p + (1 – p) \times p = p + p - p^2 = 2p - p^2 \] - Для p=0,46: \[ 2 \times 0.46 – (0.46)^2 = 0.92 – 0.2116 = 0.7084 \] - Для p=0,8: \[ 2 \times 0.8 – (0.8)^2 = 1.6 – 0.64 = 0.96 \] **Ответ:** Вероятность того, что стрелок хотя бы раз попадет — 0,7084 при p=0,46, и 0,96 при p=0,8. --- Если потребуется более конкретная помощь с диаграммами или расчетами, предоставьте рисунки или уточняющие данные.