Контрольная работа по темам "Множества” "Вероятность случайного события", "Введение в теорию графов" Вариант І 1. Монету бросают пять раз. Являются Ли противоположными события А…

Давайте по порядку разберем каждую задачу с подробными объяснениями.

---

Задача 1
Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Объясните.

Решение:

1. Обозначим события более конкретно:

   • А: «Решка выпала более двух раз», то есть количество решек > 2, что равно 3, 4 или 5.
   • В: «Орел выпал более трёх раз», то есть количество орлов > 3, то есть 4 или 5.

2. Важно понять, что события А и В связаны:

   • В случае, когда орлов больше 3, это 4 или 5 орлов.
   • Значит, когда В наступает, количество орлов ≥ 4, а поскольку всего 5 бросков, количество решек = 5 - количество орлов.

3. Анализ:

   • Если В произошло (больше 3 орлов), то возможны случаи:
     • орлов = 4, и тогда решек = 1
     • орлов = 5, и тогда решек = 0
   • Тогда событие В не гарантирует, что решек > 2, потому что при орлов=4 решек=1, что не больше двух.
   • Аналогично, при орлов=5 решек=0, что не больше двух.

4. Следовательно:

   • Если В произошло, то количество решек ≤ 1, то есть событие А не наступает.
   • А: решек > 2, то есть при орлах ≤ 2.

5. Проверка:

   • А и В не могут случиться одновременно, потому что, при V (больше 3 орлов), А точно не происходит.

Ответ:
Да, эти события являются противоположными, потому что:

• А — решек > 2 (то есть 3,4,5)
• В — орлов > 3 (то есть 4,5)

Так как при большом количестве орлов (больше 3) решек не могут быть >2, и наоборот, они составляют противоположные события, если они исключают друг друга.

Но нужно точнее проверить:

• А — решек > 2 → решек = 3,4,5
• В — орлов > 3 → орлов = 4,5

Обратим внимание, что эти события не взаимоисключающие, потому что возможен случай:

• 2 решки и 3 орла — тогда А не наступает, В - не наступает.
• 3 решки и 2 орла — тогда А наступает, В не.
• 4 решки и 1 орёл — А наступает, В не.
• 0 решек и 5 орлов — В наступает, А не.

Итак, они не являются противоположными, потому что могут случаться одновременно и отдельно.

ИТОГ: Нет, события А и В не являются противоположными, потому что они не взаимоисключающие и вероятность их пересечения не равна нулю.

---

Задача 2
Игральную кость бросают дважды. Являются ли события М «на второй кости выпало больше двух очков» и № «сумма очков равна семи» независимыми? Объясните.

Решение:

1. Определим события:

   • М: «На второй кости больше двух очков», то есть 3,4,5,6.
   • №: «Сумма очков равна 7», то есть пары (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

2. Всякое пространство элементарных событий (двойной бросок):

   • возможные исходы: (1,1), (1,2), ..., (6,6).

3. Посчитаем вероятности:

• P(M):
  — на второй кости > 2 означает, что второй бросок — 3,4,5,6.
  — при равномерном распределении вероятность для второго броска: 4/6 = 2/3.

  — Итак, вероятность события М: \[ P(M) = \frac{\text{количество исходов, где второй бросок > 2}}{36} = \frac{4 \text{ вариантов для второго} \times 6 \text{ вариантов первого}}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \]

• P(№):
  — сумма = 7 при следующих парностях: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
  — всего 6 исходов.
  — вероятность:
  \[ P(\text{сумма}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

• P(M ∩ №):
  — ищем исходы, где:

  • сумма 7,
  • второй бросок > 2.

  Проверяем каждую пару из вышеперечисленных:

  • (1,6): второй — 6 > 2, входит
  • (2,5): 5 > 2 → входит
  • (3,4): 4 > 2 → входит
  • (4,3): 3 > 2 → входит
  • (5,2): 2 → не входит
  • (6,1): 1 → не входит

  Итого 4 исхода из 6, подходящих.

  Тогда: \[ P(M \cap №) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]

4. Проверим независимость:

Если события M и № независимы, то:
\[ P(M \cap №) = P(M) \times P(№) \]

Подставим: \[ \frac{1}{9} ?= \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]

Равно!

Ответ:
Да, эти события являются независимыми, потому что их совместная вероятность равна произведению вероятностей.

---

Задача 3
На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите его в тетрадь, подпишите недостающие вероятности и найдите вероятность события А.

Так как изображение не предоставлено, предположим, что речь идет о дереве с ветвями, где у каждого узла указана вероятность события. Нужно узнать вероятности у ветвей и найти вероятность события А.

Общий подход:

• Перенести дерево на бумагу, обозначить вероятности ветвлений
• Использовать правило умножения для нахождения вероятности пути
• Сложить вероятности всех путей, ведущих к событию А

Без конкретного рисунка дать более точный ответ невозможно, однако, схему и примерный ход решения можно привести.

---

Задача 4
Нарисуйте таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите цветными карандашами элементарные события:

• а) обе кости показали число меньше 3 (то есть 1 или 2)
• б) сумма очков равна 7
• в) произведение очков равно 12

Решение:

1. Таблица элементов: 6 x 6 (от 1 до 6 по каждой оси)

	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

2. Назначения:

• а) обе кости < 3 → числа 1 или 2

  • варианты: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

• б) сумма = 7

  • варианты: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

• в) произведение = 12

  • варианты: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2)

3. Выделите их цветом на таблице.

---

Задача 5
Стрелок делает выстрел по мишени:

• Если он попал (вероятность p), то он больше не стреляет.
• Если промахнулся (вероятность 1 – p), то делает еще один выстрел.

Построение дерева и расчет вероятности:

• Пусть p — вероятность попадания.

Дерево:

Итер.	Событие	Вероятность
1-й выстрел	Попал (p)	p
	Промахнул (1 – p)	1 – p
2-й выстрел (если промах)	Попал (p)	(1 – p) * p
	Промахнул (1 – p)	(1 – p)^2

Общий расчет вероятности:

Вероятность попадания хотя бы в один выстрел:
\[ P(\text{попал хотя бы один раз}) = p + (1 – p) \times p = p + p - p^2 = 2p - p^2 \]

• Для p=0,46:
  \[ 2 \times 0.46 – (0.46)^2 = 0.92 – 0.2116 = 0.7084 \]

• Для p=0,8:
  \[ 2 \times 0.8 – (0.8)^2 = 1.6 – 0.64 = 0.96 \]

Ответ:
Вероятность того, что стрелок хотя бы раз попадет — 0,7084 при p=0,46, и 0,96 при p=0,8.

---

Если потребуется более конкретная помощь с диаграммами или расчетами, предоставьте рисунки или уточняющие данные.